137
правок
Изменения
Нет описания правки
|definition=
Идеалом <tex>\mathbb{J}</tex> алгебры полиномов <tex>\mathbb{P}</tex> называется ее <i>подпространство</i> , такое что
<tex> \forall q \in \mathbb{J}, \forall p \in \mathbb{P} \Rightarrow q \cdot p \in \mathbb{J} </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Фиксированный полином <tex>p</tex> в равенстве <tex>\mathbb{J}_p=p \mathbb{P}</tex> называется порождающим полиномом идеала <tex>\mathbb{P}</tex>
}}
{{Лемма
Тогда <tex>\forall</tex> идеал, содержащий <tex>\mathbb{I}</tex> - тривиальный полином и равен <tex>\mathbb{P}</tex>.
}}
{{Лемма
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\mathbb{J}</tex> - идеал <tex>\mathbb{P}</tex>. Тогда <tex>\mathrm{p}_J\ne 0</tex> называется минимальным полиномом этого <tex>\mathbb{J}</tex>идеала, если он <tex>\in \mathbb{J}</tex> в нем содержится и имеет минимальную степень.
}}
Пусть <tex dpi = '150'>\exists\mathrm{p}\in\mathbb{J} : \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}_J} = \mathrm{q} + \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}_J}</tex>, где <tex dpi = '130'> deg\ \mathrm{r} < deg\ \mathrm{p}_J</tex>.
Тогда <tex>\mathrm{r} = \mathrm{p}-\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q}</tex> , где <tex>\mathrm{p},\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q} \in \mathbb{J} \Rightarrow \mathrm{r}\in \mathbb{J}</tex> {{---}} Противоречиепротиворечие.
}}
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>\mathrm{p}_J^1,\ \mathrm{p}_J^1 - 2 min</tex> {{---}} два минимальных полинома <tex>\mathbb{J}</tex> , тогда <tex>\mathrm{p}_J^1 = \alpha\mathrm{p}_J^12,\ \alpha \ne 0</tex>
}}
|proof=
<tex>\mathbb{J}_1\subset \mathbb{J}_2\Rightarrow \mathrm{p}_{J1}\in\mathbb{J}_2\Rightarrow\mathrm{p}_{J1}\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}</tex>.
(чем меньше идеал как множество, тем больше степень минимального полинома)
}}
|statement=
Пусть <tex>\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} </tex>, где <tex>\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}</tex> {{---}} соответствующие минимальные полиномы.
Так же пусть <tex>\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \cap \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J}</tex>. {{---}} минимальный полином.
Тогда <tex>\mathrm{p}_J = </tex> НОК<tex>(\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2})</tex>
|proof=
<tex>\mathrm{p}_J = </tex> OK<tex>(\{p_{\mathbb{J}_1},\ p_{\mathbb{J}_2)}\}</tex><tex>\Leftarrow
\begin{cases}
\mathrm{p}_J \in \mathbb{J}_1 \Rightarrow \mathrm{p}_J\ \vdots\ \mathrm{p}_{J1}\\
\end{cases}
</tex>
Рассмотрим <tex>q \in \mathbb{J} - OK \{p_{\mathbb{J}_1},\ p_{\mathbb{J}_2)}\} \vdots \mathrm{p}_J \Rightarrow \mathrm{p}_J</tex> {{---}} НОК по определению <tex>min</tex> полинома.}} {{Лемма|statement=Пусть <tex>\mathbb{J}=\mathbb{J}_1+\mathbb{J}_2 \ (\mathbb{J}\leftrightarrow \mathrm{p}_J, \mathbb{J}_1\leftrightarrow \mathrm{p}_{J1}, \mathbb{J}_2\leftrightarrow \mathrm{p}_{J2})</tex> тогда <tex>\mathrm{p}_j=</tex>НОД<tex>\{\mathrm{p}_{j1},\mathrm{p}_{j2}\}</tex>|proof=
}}
|statement=
Пусть <tex>\mathrm{p} = \mathrm{p}_1\cdot ... \cdot \mathrm{p}_k</tex> , где любые <tex>\mathrm{p}_i,\ \mathrm{p}_j</tex> {{---}} попарно взаимно простые делители <tex>\mathrm{p}</tex>
Рассмотрим <tex dpi='145'>\mathrm{p}_i^1 = \frac{\mathrm{p}_i}{\mathrm{p}_i}</tex>.Тогда <tex>\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{pq}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i^1\cdot\mathrm{q}_j = \mathbb{I}</tex>
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
