137
правок
Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition= Пусть <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow X</tex> {{---}} автоморфизм. Подпространство <tex>L</te...»
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow X</tex> {{---}} автоморфизм. Подпространство <tex>L</tex> линейного пространства <tex>X</tex> называется '''инвариантным подпространством''' (ИПП) линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex>, если <tex>\forall x: \mathcal{A}x \in L \ (\mathcal{A}(L)\subset L) </tex>
}}
{{Лемма
|statement=
Если <tex>L_1, L_2</tex> {{---}} ИПП <tex>\mathcal{A}</tex>, то <tex>L_1 \cap L_2</tex> и <tex>L_1+L_2</tex> тоже ИПП.
|proof=
}}
{{Определение
|definition=
<tex>L</tex> {{---}} ИПП <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{A}_L: L \rightarrow L</tex>, но <tex>\forall x \in L: \mathcal{A}_L x=\mathcal{A} x</tex>, тогда <tex>\mathcal{A}_L=\mathcal{A} \vert_L</tex> называют '''частью линейного оператора''' <tex>\mathcal{A}</tex> в <tex>L</tex> (сужение оператора <tex>\mathcal{A}</tex> на <tex>L</tex>)
}}
{{Определение
|definition=
<tex>L_1, L_2</tex> {{---}} ИПП <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>X=L_1 \dotplus L_2</tex> тогда <tex>L_1, L_2</tex> называют '''ультраинвариантным подпространством''' (УИПП).
}}
{{Определение
|definition=
<tex>L</tex> {{---}} УИПП <tex>\mathcal{A}</tex>, тогда часть <tex>\mathcal{A}_L</tex> называют '''компонентой''' <tex>\mathcal{A}</tex> в УИПП <tex>L</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>L_1, L_2</tex> {{---}} УИПП <tex>\mathcal{A} \ (X=L_1 \dotplus L_2)</tex>, тогда <tex>\mathcal{A}=\mathcal{A}_{L_1}\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2} + \mathcal{A}_{L_2}\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}</tex>
|proof=
<tex> X=L_1 \dotplus L_2 \Rightarrow \forall x=x_1+x_2=\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2}x+\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}x \ (x_1 \in L_1, x_2 \in L_2) \ (*)</tex> - разложение единственно.
<tex>\mathcal{A}(*)=\mathcal{A}_{L_1}(\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2}x) + \mathcal{A}_{L_2}(\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}x)</tex> {{---}} теорема доказана.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>X=L_1 \dotplus L_2</tex> и <tex>\mathcal{A}=\mathcal{A}_{L_1}\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2} + \mathcal{A}_{L_2}\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}</tex>, тогда <tex>\mathcal{A}=\mathcal{A}_{L_1} \dotplus \mathcal{A}_{L_2}</tex> называется "''прямой суммой линейных''' операторов <tex> \mathcal{A}_{L_1}</tex> и <tex>\mathcal{A}_{L_2}</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> представим прямой суммой своих компонент в УИПП.
}}
{{Определение
|definition=Проектор на УИПП называется '''ультрапроектором'''.
}}
{{Определение
|definition=УИПП называется '''минимальным''', если оно не содержит внутри себя не тривиальных УИПП меньшей размерности.
}}
{{Утверждение
|statement=Различные минимальные УИПП дизъюнктны.
}}
{{Утверждение
|statement=Число попарно дизъюнктных минимальных УИПП конечно (оператор в конечномерном пространстве).
}}
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow X</tex> {{---}} автоморфизм. Подпространство <tex>L</tex> линейного пространства <tex>X</tex> называется '''инвариантным подпространством''' (ИПП) линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex>, если <tex>\forall x: \mathcal{A}x \in L \ (\mathcal{A}(L)\subset L) </tex>
}}
{{Лемма
|statement=
Если <tex>L_1, L_2</tex> {{---}} ИПП <tex>\mathcal{A}</tex>, то <tex>L_1 \cap L_2</tex> и <tex>L_1+L_2</tex> тоже ИПП.
|proof=
}}
{{Определение
|definition=
<tex>L</tex> {{---}} ИПП <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{A}_L: L \rightarrow L</tex>, но <tex>\forall x \in L: \mathcal{A}_L x=\mathcal{A} x</tex>, тогда <tex>\mathcal{A}_L=\mathcal{A} \vert_L</tex> называют '''частью линейного оператора''' <tex>\mathcal{A}</tex> в <tex>L</tex> (сужение оператора <tex>\mathcal{A}</tex> на <tex>L</tex>)
}}
{{Определение
|definition=
<tex>L_1, L_2</tex> {{---}} ИПП <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>X=L_1 \dotplus L_2</tex> тогда <tex>L_1, L_2</tex> называют '''ультраинвариантным подпространством''' (УИПП).
}}
{{Определение
|definition=
<tex>L</tex> {{---}} УИПП <tex>\mathcal{A}</tex>, тогда часть <tex>\mathcal{A}_L</tex> называют '''компонентой''' <tex>\mathcal{A}</tex> в УИПП <tex>L</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>L_1, L_2</tex> {{---}} УИПП <tex>\mathcal{A} \ (X=L_1 \dotplus L_2)</tex>, тогда <tex>\mathcal{A}=\mathcal{A}_{L_1}\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2} + \mathcal{A}_{L_2}\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}</tex>
|proof=
<tex> X=L_1 \dotplus L_2 \Rightarrow \forall x=x_1+x_2=\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2}x+\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}x \ (x_1 \in L_1, x_2 \in L_2) \ (*)</tex> - разложение единственно.
<tex>\mathcal{A}(*)=\mathcal{A}_{L_1}(\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2}x) + \mathcal{A}_{L_2}(\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}x)</tex> {{---}} теорема доказана.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>X=L_1 \dotplus L_2</tex> и <tex>\mathcal{A}=\mathcal{A}_{L_1}\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2} + \mathcal{A}_{L_2}\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}</tex>, тогда <tex>\mathcal{A}=\mathcal{A}_{L_1} \dotplus \mathcal{A}_{L_2}</tex> называется "''прямой суммой линейных''' операторов <tex> \mathcal{A}_{L_1}</tex> и <tex>\mathcal{A}_{L_2}</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> представим прямой суммой своих компонент в УИПП.
}}
{{Определение
|definition=Проектор на УИПП называется '''ультрапроектором'''.
}}
{{Определение
|definition=УИПП называется '''минимальным''', если оно не содержит внутри себя не тривиальных УИПП меньшей размерности.
}}
{{Утверждение
|statement=Различные минимальные УИПП дизъюнктны.
}}
{{Утверждение
|statement=Число попарно дизъюнктных минимальных УИПП конечно (оператор в конечномерном пространстве).
}}
