Изменения

Тогда отображение <tex>\l mathcal{C} \colon X \to Z</tex> называется называется '''произведением линейных операторов''' <tex>\mathcal{B}</tex> и <tex>\mathcal{A} \ (l \mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A})</tex>, если <tex>\forall x \in X \colon \ l\mathcal{C}(x) = \mathcal{B}(\mathcal{A}x)</tex>

|statement=Если <tex>l \mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}</tex>, то <tex>l\mathcal{C}</tex> - '''линейный оператор''', т.е. <tex>l \mathcal{C} \in X \times Z </tex>

|statement=Пусть <tex>\{e_i\}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>X</tex>, <tex>\{h_k\}_{k=1}^m</tex> - базис <tex>Y</tex>, <tex>\{l_s\}_{s=1}^p</tex> - базис <tex>Z</tex> и пусть <tex> A_{[m \times n]} = ||\alpha_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex> B_{[p \times m]} = ||\beta_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{B}</tex>, <tex>C_{[p \times n]} = ||\gamma_k^i||</tex> - матрица <tex>l\mathcal{C}</tex>, где <tex>l \mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}</tex>.<br>

|proof=1. <tex>l(\mathcal{C}e_i) = \sum\limits_{k=1}^{p} \gamma_{i}^{k} l_k</tex>, т.е. <tex>\gamma_{i}^{k} = (C_{e_i})^k</tex> по определению матрицы <tex>C</tex>.<br>2. <tex>l(\mathcal{C}e_i) = \mathcal{B} (\mathcal{A} e_i) = \mathcal{B} (\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} h_j) \overset{\mathcal{B} - lin.op}{=} \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} \mathcal{B}(h_j)</tex>