Изменения
→Умножение линейных операторов
{{Теорема
|statement=Пусть <texdpi = "140">\{e_i\}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>X</tex>, <tex>\{h_k\}_{k=1}^m</tex> - базис <tex>Y</tex>, <tex>\{l_s\}_{s=1}^p</tex> - базис <tex>Z</tex> и пусть <tex> A_{[m \times n]} = ||\alpha_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex> B_{[p \times m]} = ||\beta_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{B}</tex>, <tex>C_{[p \times n]} = ||\gamma_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{C}</tex>, где <tex>\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}</tex>.<br>
Тогда <tex>C = B \cdot A</tex>.
|proof=1. <texdpi = "140">\mathcal{C}e_i = \sum\limits_{k=1}^{p} \gamma_{i}^{k} l_k</tex>, т.е. <tex>\gamma_{i}^{k} = (C_{e_i})^k</tex> по определению матрицы <tex>C</tex>.<br>
2. <tex>\mathcal{C}e_i = \mathcal{B} (\mathcal{A} e_i) = \mathcal{B} (\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} h_j) \overset{\mathcal{B} - lin.op}{=} \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} \mathcal{B}(h_j) = \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} (\sum\limits_{k=1}^{p} \beta_{j}^{k} l_k) = </tex><tex> \sum\limits_{k=1}^{p} (l_k \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j}) </tex>, тогда из 1 и 2: <br>
<tex dpi = "140">\gamma_i^k = \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j} \overset{def}{\Leftrightarrow} C_{[p \times n]} = B_{[p \times m]} \times A_{[m \times n]} </tex>, для <tex>i = 1..n</tex> и <tex>k = 1..p</tex>
}}
==Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебр.==
