418
правок
Изменения
Нет описания правки
|statement=
Пусть <tex>p(\lambda)=p_1(\lambda)*p_2(\lambda)</tex> (Н.О.Д. <tex>\{p_1(\lambda), p_2(\lambda)\}=1</tex>)
Тогда <tex>Ker \ker p(A)=Ker \ker p_1(A) + Ker \ker p_2(A)</tex>
|proof=
1) Пусть <tex>x=x_1+x_2</tex>, где <tex>x_1 \in Ker \ker p_1(A)</tex>, <tex>x_2 \in Ker \ker p_2(A) => </tex>
<tex>p(A)x=p(A)x_1+p(A)x_2 = p_1(A) \cdot p_2(A) x + p_1(A)p_2(A) x_2 = </tex>(коммутативность)<tex> =
p_2(A)*p_1(A)x_1+p_1(A)0=0+0=0 =></tex> <tex>x \in Ker \ker p(A)</tex>
Итого: <tex>Ker \ker p_1(A)+Ker \ker p_2(A) inini Ker \ker p(A)</tex>
2) Надо: <tex>Ker \ker p(A) inini Ker \ker p_1(A) + Ker \ker p_2(A)</tex>
<tex>\forall x = x_1 + x_2 (?)</tex>
<tex>\forall x \in Ker \ker p(A), x_1 \in Ker \ker p_1(A), x_2 \in Ker \ker p_2(A)</tex>
Пусть <tex>x = Ix = p_2(A)q_2(A)x+p_1(A)q_1(A)x, x \in Ker \ker p(A)</tex>
Рассмотрим <tex>p_1(A)x_1 = (p_1(A) \cdot p_2(A))q_2(A)x= p(A)\cdot q_2(A)x = q_2(A)\cdot p(A) x</tex>
I. Итого: <tex>Ker \ker p(A) = Ker \ker p_1(A)+Ker \ker p_2(A)</tex>
II. <tex>+ -> +..</tex>
Надо: <tex>Ker \ker p_1(A) per Ker \ker p_2(A) = \{0_x\}</tex><tex><- U:z:Ker \ker p_1(A) per Ker \ker p_2(A)</tex>
Рассмотрим <tex>z=Iz=p_1(A)q_1(A)z+p_2(A)q_2(A)z=q_1(A)p1(A)z+q_2(A)p_2(A)z=0</tex>, ч.т.д.
}}
Следствие. Пусть p(\lambda)=\PI_{i=1}^k p_i(\lambda), где p_i(\lambda) - взаимнопростые делители p(\lambda). Тогда <tex>Ker \ker p(A)+..\displaystyle \sum_{i=1}^k Ker \ker p_i(A)</tex>
{{Определение
}}
N.B: <tex>p(A)=O <=> \forall x \in X:p(A)x = Ox <=> p(A)x = \{Ox\} <=> Im p(A) =\{Ox\} <=> Ker \ker p(A) =X</tex>
Лемма 1.
{{Теорема
|statement= Пусть <tex>p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^k p_a(\lambda)</tex> (<tex>p_i(\lambda)</tex> - взаимнопростые делители)
Тогда <tex>X = \dotplus\sum_{i=1}^n Ker \ker p_i(A)</tex><tex>Ker \ker p_A(A) = X</tex>
}}
{{Теорема
|statement= Пусть <tex>p_A(\lambda)=p_1(\lambda)\cdot p_2(\lambda)</tex> (взаимнопростые)
Тогда <tex>Ker \ker p_1(A) = Im p_2(A)</tex>
|proof=
<tex>p_A(A)X = \{Ox\}</tex>
<tex>p_1(A)(p_2(A)X)=\{Ox\}</tex>
<tex>p_2(A)X = Im p_2(A)</tex>
=> <tex>\forall x \in Im p_2(A):p_1(\mathcal{A})x=Ox => Im p_2(\mathcal{A}) inini Ker \ker p_1(\mathcal{A})</tex><tex>dim Im p_2(\mathcal{A}) = dim Ker \ker p_1(\mathcal{A}) (?)</tex><tex>X=Ker \ker p_A(\mathcal{A})=Ker \ker p_1(\mathcal{A}) \dotplus Ker \ker p_2(\mathcal{A})</tex>
1) <tex>n = dim X = dim Ker \ker p_1(\mathcal{A}) + dim Ker \ker p_2(\mathcal{A})</tex> (1)
2) <tex>n = dim X = dim Im p_2(\mathcal{A}) + dim Ker \ker p_2(\mathcal{A})</tex> (2)
}}
|proof=
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве: операторы общего вида]]
