39
правок
Изменения
Новая страница: «== Тензоры: независимое от ПЛФ определение; свертка тензора; транспонирование тензора. == ...»
== Тензоры: независимое от ПЛФ определение; свертка тензора; транспонирование тензора. ==
Пусть <tex> W </tex> принадлежит <tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. <tex>\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(e_{i1}, e_{i2}, ..., e_{ip}, f^{j1}, ..., f^{jq}) </tex>.
(1) {<tex>e_i</tex>} <tex>\longrightarrow </tex> {<tex>\tilde{e}_i</tex>} под действием матрицы <tex>T</tex>.
(2) {<tex>f_j</tex>} <tex>\longrightarrow </tex> {<tex>\tilde{f}_j</tex>} под действием матрицы <tex>T^{-1}</tex>.
<tex>\tilde{\omega}_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(\tilde{e}_{i1}, \tilde{e}_{i2}, ..., \tilde{e}_{ip}, \tilde{f}_{j1}, ..., \tilde{f}_{jq}) </tex> = <tex> W(\tau_{i1}^{s1}e_{s1}, \tau_{i2}^{s2}e_{s2}, ..., \tau_{ip}^{sp}e_{sp}, \mathrm{G}_{t1}^{j1}f^{j1}, \mathrm{G}_{t2}^{j2}f^{j2}, ..., \mathrm{G}_{tq}^{jq}f^{jq})</tex> = <tex>\tau_{i1}^{s1}\tau_{i2}^{s2}...\tau_{ip}^{sp}\mathrm{G}_{t1}^{j1}, \mathrm{G}_{t2}^{j2}, ..., \mathrm{G}_{tq}^{jq}*W(e_{s1}, e_{s2}, ..., e_{sp}, f^{t1}, f^{t2}, ..., f^{tq}). </tex>
C учетом того, что <tex>(f^{j}, e_{i})</tex> = <tex> \delta_{i}^{j} </tex>. И аналогично с <tex>e, f</tex> взволнованными.
Определение: Пусть <tex>{e}_{i = 1}^n</tex> {{---}} базис Х. <tex>{f}_{j = 1}^n</tex> {{---}} базис <tex>Х^{*}</tex> им соответствует <tex>n^{p + q}</tex> чисел <tex>\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>.
Это n^{p + q} чисел + само определение называется тензором. q раз контрвариантный, р раз ковариантный.
<tex>NB</tex> - ранг тензора (q, p).
Примеры:
* x <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \xi^1 </tex>. (1, 0)
x принадлежит Х.
* f <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \phi_1 </tex>. (0, 1)
f принадлежит <tex>X^*</tex>
* <tex>\mathcal{A}</tex> : X -> X <tex>\longleftrightarrow </tex> \alpha_{k}^{i}. (1, 1)
* Биленейная форма: B(x1, x2) <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \beta_{i1, i2} </tex>. (0, 2).
* (0, 0) {{---}} скаляр, число.
<tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex> {{---}} линейное пространство всех форм валентности (p, q).
<tex> W \longleftrightarrow \omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>. Ранг (q, p).
===Свертка тензора===
Определение: Пусть <tex>U</tex> принадлежит <tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. Сверткой формы <tex>U</tex> по аргументам <tex>x_i</tex>, <tex>y^j</tex> называется <tex> \sum_{s=1}^n U(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, e_s, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, f^s, y^{j + 1}, y^q)</tex> = <tex>W(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, y^{j + 1}, y^q) </tex>.
Свертка ПЛФ не зависит от паря сопряженных базисов.
После свертки тензор имеет ранг (q - 1, p - 1).
NB Сворачивать тензор можно только по паре один верхний/один нижний значек. Иначе {{---}} нельзя.
NB Если тензор ранга (p, p), то р - кратная свертка этого тензора называется его полной сверткой. Всего возможно р! полных сверток.
Пусть <tex> W </tex> принадлежит <tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. <tex>\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(e_{i1}, e_{i2}, ..., e_{ip}, f^{j1}, ..., f^{jq}) </tex>.
(1) {<tex>e_i</tex>} <tex>\longrightarrow </tex> {<tex>\tilde{e}_i</tex>} под действием матрицы <tex>T</tex>.
(2) {<tex>f_j</tex>} <tex>\longrightarrow </tex> {<tex>\tilde{f}_j</tex>} под действием матрицы <tex>T^{-1}</tex>.
<tex>\tilde{\omega}_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(\tilde{e}_{i1}, \tilde{e}_{i2}, ..., \tilde{e}_{ip}, \tilde{f}_{j1}, ..., \tilde{f}_{jq}) </tex> = <tex> W(\tau_{i1}^{s1}e_{s1}, \tau_{i2}^{s2}e_{s2}, ..., \tau_{ip}^{sp}e_{sp}, \mathrm{G}_{t1}^{j1}f^{j1}, \mathrm{G}_{t2}^{j2}f^{j2}, ..., \mathrm{G}_{tq}^{jq}f^{jq})</tex> = <tex>\tau_{i1}^{s1}\tau_{i2}^{s2}...\tau_{ip}^{sp}\mathrm{G}_{t1}^{j1}, \mathrm{G}_{t2}^{j2}, ..., \mathrm{G}_{tq}^{jq}*W(e_{s1}, e_{s2}, ..., e_{sp}, f^{t1}, f^{t2}, ..., f^{tq}). </tex>
C учетом того, что <tex>(f^{j}, e_{i})</tex> = <tex> \delta_{i}^{j} </tex>. И аналогично с <tex>e, f</tex> взволнованными.
Определение: Пусть <tex>{e}_{i = 1}^n</tex> {{---}} базис Х. <tex>{f}_{j = 1}^n</tex> {{---}} базис <tex>Х^{*}</tex> им соответствует <tex>n^{p + q}</tex> чисел <tex>\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>.
Это n^{p + q} чисел + само определение называется тензором. q раз контрвариантный, р раз ковариантный.
<tex>NB</tex> - ранг тензора (q, p).
Примеры:
* x <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \xi^1 </tex>. (1, 0)
x принадлежит Х.
* f <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \phi_1 </tex>. (0, 1)
f принадлежит <tex>X^*</tex>
* <tex>\mathcal{A}</tex> : X -> X <tex>\longleftrightarrow </tex> \alpha_{k}^{i}. (1, 1)
* Биленейная форма: B(x1, x2) <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \beta_{i1, i2} </tex>. (0, 2).
* (0, 0) {{---}} скаляр, число.
<tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex> {{---}} линейное пространство всех форм валентности (p, q).
<tex> W \longleftrightarrow \omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>. Ранг (q, p).
===Свертка тензора===
Определение: Пусть <tex>U</tex> принадлежит <tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. Сверткой формы <tex>U</tex> по аргументам <tex>x_i</tex>, <tex>y^j</tex> называется <tex> \sum_{s=1}^n U(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, e_s, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, f^s, y^{j + 1}, y^q)</tex> = <tex>W(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, y^{j + 1}, y^q) </tex>.
Свертка ПЛФ не зависит от паря сопряженных базисов.
После свертки тензор имеет ранг (q - 1, p - 1).
NB Сворачивать тензор можно только по паре один верхний/один нижний значек. Иначе {{---}} нельзя.
NB Если тензор ранга (p, p), то р - кратная свертка этого тензора называется его полной сверткой. Всего возможно р! полных сверток.
