234
правки
Изменения
→Тензоры: независимое от ПЛФ определение; свертка тензора; транспонирование тензора.
(2) {<tex>f_j</tex>} <tex>\longrightarrow </tex> {<tex>\tilde{f}_j</tex>} под действием матрицы <tex>T^{-1}</tex>.
<tex>\tilde{\omega}_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(\tilde{e}_{i1}, \tilde{e}_{i2}, ..., \tilde{e}_{ip}, \tilde{f}_{j1}, ..., \tilde{f}_{jq}) </tex> = <tex> W(\tau_{i1}^{s1}e_{s1}, \tau_{i2}^{s2}e_{s2}, ..., \tau_{ip}^{sp}e_{sp}, \mathrm{G}_sigma_{t1}^{j1}f^{j1}, \mathrm{G}_sigma_{t2}^{j2}f^{j2}, ..., \mathrm{G}_sigma_{tq}^{jq}f^{jq})</tex> = <tex>\tau_{i1}^{s1}\tau_{i2}^{s2}...\tau_{ip}^{sp}\mathrm{G}_sigma_{t1}^{j1}, \mathrm{G}_sigma_{t2}^{j2}, ..., \mathrm{G}_sigma_{tq}^{jq}*W(e_{s1}, e_{s2}, ..., e_{sp}, f^{t1}, f^{t2}, ..., f^{tq}). (*)</tex>
C учетом того, что <tex>(f^{j}, e_{i})</tex> = <tex> \delta_{i}^{j} </tex>. И аналогично с <tex>e, f</tex> взволнованными.
Определение: Пусть <tex>{e}_{i = 1}^n</tex> {{---}} базис Х. <tex>{f}_{j = 1}^n</tex> {{---}} базис <tex>ХX^{*}</tex>. Им соответствует <tex>n^{p + q}</tex> чисел <tex>\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>. Это Эти <tex>n^{p + q}</tex> чисел + само определение называется закон преобразования <tex>(*)</tex> называются тензором. <tex>q</tex> раз контрвариантный, p раз ковариантный.
<tex>NB</tex> {{---}} ранг тензора (<tex>q</tex>, <tex>p</tex>).
Примеры:
* x <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \xi^1 i </tex>. (1, 0)<tex>x принадлежит Х\in X</tex>.* f <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \phi_1 phi_i </tex>. (0, 1)f принадлежит <tex>f \in X^*</tex>* <tex>\mathcal{A}</tex> : X -> X <tex>\longleftrightarrow </tex> \alpha_{k}^{i}</tex>. (1, 1)* Биленейная форма: <tex>\mathcal{B}(x1x_1, x2x_2) <tex>\longleftrightarrow </tex> <tex> \beta_{i1, i2} </tex>. (0, 2).
* (0, 0) {{---}} скаляр, число.
