Изменения
Нет описания правки
{{Лемма
|statement = Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> {{---}} автоморфизм в <tex>\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\ \Leftrightarrow </tex> <tex> A = ||\alpha_{k}^i|| </tex>, то есть <tex>(\mathcal{A}e_k)^i = \alpha_{n}^i, </tex> <tex> \mathcal{A}e_k = \sum \alpha_{k}^ie_i </tex>. <br>Тогда <tex> det\mathcal{A} = detA = det||\alpha_{k}^i||</tex>
}}
==Внешняя степень оператора==
{{Определение
|definition = Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> {{---}} автоморфизм. Внешней степенью линейного оператора называется отображение <tex>\mathcal{A}^\wedge_p \colon \wedge_p \to \wedge_p </tex> по формуле <tex> \mathcal{A}^\wedge_p(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}e_{i_1} \wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge \wedge \mathcal{A}e_{i_n}</tex> и на остальные поливектора распределяется по линейности.
}}
{{Теорема
|statement= Для <tex>\forall (x_1 \wedge x_2 \wedge ... \wedge x_p) </tex>, верно что <tex>\mathcal{A}^\wedge_p(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}x_1 \wedge \mathcal{A}x_2 \wedge ... \wedge \mathcal{A}x_p </tex>
|proof = Рассмотрим : <br> <tex>\mathcal{A}^\wedge_p(x_i \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}^\wedge_p((\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_{i_1}) \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_p})
= \sum_{i=1}^{n}\xi^i\mathcal{A}^\wedge_p(e_{i_1}\wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}(\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_i)\wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_n} = \mathcal{A}x \wedge \mathcal{A}e_{i_2}\ \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_p}</tex>.
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Тензорная алгебра]]
