72
правки
Изменения
Нет описания правки
<ol>
<li>Дано <tex>n</tex> работ и один станок.</li>
<li>Для каждой работы известно её время появления <tex>r_{i}</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>1</tex>. Работу можно прерывать в процессе Работа может начаться только после выполнениянекоторых других работ, а потом снова возобновлятьэта зависимость дана в виде ациклического графа.</li>
</ol>
Необходимо составить такое расписание, чтобы значение <tex>L_{max} = max_{i=1}^n (C_i - d_i)</tex> было минимальным.
==Описание алгоритма==
Пусть <tex>time</tex> {{---}} текущий момент времени.<br/>
Для каждого очередного значения <tex>time</tex>, которое изменяется от <tex>0</tex> до времени окончания последней работы, будем:
<ol>
<li> Выполнять работу <tex>k</tex> из множества невыполненных работ, у которой <tex>d_{k}</tex> минимально.</li>
<li> Увеличиваем <tex>time</tex> на один.</li>
</ol>
==Доказательство==
Пусть существует оптимальное расписание <tex> S^* </tex>. В этом расписании работа выполняется тогда, когда она появилась, либо когда закончилась другая работа.
Рассмотрим такое расписание <tex>S^*</tex>, которое как можно дольше совпадает с расписанием S, построенным алгоритмом. Пусть <tex> t~-</tex> первый момент времени, когда в расписании <tex>S</tex> начинает выполняться работа <tex>i</tex>, а в расписании <tex>S^*</tex> работа <tex>j</tex> (причем <tex> i \ne j </tex>). Мы знаем, что <tex> r_i, r_j \le t </tex>, а значит <tex> d_i \le d_j </tex> (поскольку при построении мы выбираем минимальное доступное <tex> d_k </tex>). Пусть <tex> i_1, i_2, ..., i_l~-</tex> все работы, которые находятся в расписании <tex>S^*</tex> между работами <tex>j</tex> и <tex>i</tex> и являются наследниками работы <tex>j</tex>. Кроме того, предположим, что эти работы упорядочены по времени начала выполнения. Теперь, если мы поставим работу <tex>i_l</tex> вместо <tex>i, i_{l-1}</tex> вместо <tex>i_{l}, ..., j</tex> вместо <tex>i_1, i</tex> вместо <tex>j</tex>, то мы снова получим возможное оптимальное расписание <tex> S' </tex>. так как <tex> d_i \le d_j \le d_v </tex>, где <tex> v \in {i_1, i_2, ... i_l} </tex>. Последнее неравенство имеет место быть, поскольку все работы <tex>i_v</tex> являются наследниками работы <tex>j</tex>.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория расписаний]]
