1632
правки
Изменения
м
<ol><li>#<tex>I_{1}</tex> {{- --}} множество всех работ, которые должны выполнится выполниться только на <tex>M_{1}</tex>. </li><li>#<tex>I_{2}</tex> {{- --}} множество всех работ, которые должны выполнится выполниться только на <tex>M_{2}</tex>. </li><li>#<tex>I_{12}</tex> {{- --}} множество всех работ, которые должны выполнится выполниться сначала на <tex>M_{1}</tex> затем на <tex>M_{2}</tex>. </li><li>#<tex>I_{21}</tex> {{--- }} множество всех работ, которые должны выполнится выполниться сначала на <tex>M_{2}</tex> затем на <tex>M_{1}</tex>. </li></ol>Решим задачу [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]] для <tex>I_{12}</tex> и для <tex>I_{21}</tex>независимо. Получим расписание <tex>S_{12}</tex> и <tex>S_{21}</tex>.
<ol><li>* Расписание <tex>M1M_{1}</tex> : сначала <tex>I_{12}</tex> в соответсвии с расписанием <tex>S_{12}</tex>. Затем <tex>I_{1}</tex> в произвольном порядке. Затем <tex>I_{21}</tex> в соответсвии с <tex>S_{21}</tex>. * Расписание <tex>M_{2}</tex>: сначала <tex>I_{21}</tex> в соответсвии с расписанием <tex>S_{21}</litex>. Затем <tex>I_{2}</tex> в произвольном порядке. Затем <tex>I_{12}</tex> в соответсвии с <tex>S_{12}</tex>.
<li>Расписание <tex>M_{2}</tex> : сначала <tex>I_{21}</tex> в соответсвии с расписанием <tex>S_{21}</tex>. Затем <tex>I_{2}</tex> в произвольном порядке. Затем <tex>I_{12}</tex> в соответсвии с <tex>S_{12}</tex>. </li></ol>'''Примечание''': во время выполнения <tex>I_{21}</tex> на <tex>M_{1}</tex> или <tex>I_{12}</tex> на <tex>M_{2}</tex> могут возникнуть простои
<li>
Иначе <tex>T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) < T_{2}(I_{21}) </tex>.
Тогда <tex>M_{2}</tex> работает без прерываний, т.к к тому моменту завершения выполнения <tex>I_{2}</tex> на <tex> M_{2} </tex> все работы <tex>I_{12}</tex> выполнены на <tex>M_{1}</tex> .
Рассмотрим станок на котором достигается <tex>C_{max}</tex> . Если это <tex>M_{1}</tex>, то оптимальность очевидна(<tex>C_{max} >= \sum\limits_{i \in G_{1}} p_i </tex>)
Сложность алгоритма <tex>O(n\log n)</tex>==Источники информации==* Peter Brucker.«Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 179 {{---}} 180 стр. {{---}} ISBN 978-3-540-69515-8
rollbackEdits.php mass rollback
<tex dpi =200>J2 \mid n_i \leqslant 2 \mid C_{max}</tex>{{Задача|definition=Постановка задачи==Рассмотрим задачу:<ol><li>*Дано <tex>n</tex> работ и <tex>2</tex> станка.</li><li>*Для каждой работы известно её время выполнения на каждом станке <tex>p_{iij}</tex>.</li><li>*Для каждой работы известна последовательность <tex>O_{i1}, \ O_{i2} \ \ldots \ O_{ik}</tex> станков {{--- }} порядок, в котором нужно выполнить работу. <tex>1</tex>.</li><li>Длина любой *В каждой последовательности <tex><=2O_{i}</tex>не более двух элементов.</ol>Требуется минимизировать время окончания выполнения всех работ.}}
==Описание алгоритма==
<tex>M_{1}</tex> {{--- }} первый станок. <tex>M_{2}</tex> {{--- }} второй станок.
Разобьем все работы на четыре множества:
Тогда оптимальное расписание для нашей задачи будет следующим:
из-за того, что работа ещё не выполнилась на предыдущем станке.
==Доказательство корректности алгоритма==
<tex>T_{ij}(x)</tex> {{- --}} время выполнения множества работ <tex>x</tex> на станке <tex>ij</tex>.
<tex>G_{j}</tex> {{---}} множество всех работ, которые нужно сделать хотя бы раз на <tex>j</tex>-м станке, то есть <tex>G_{1} = I_{1} \cup I_{12} \cup I_{21}</tex>.
{{Лемма
|id=lemma1
|statement=
Расписание, построенное данным алгоритмом, обладает следующим свойством : один из станков работает без простоев.
|proof=
Рассмотрим 2 вариантадва случая:<li>#<tex>T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) >= \geqslant T_{2}(I_{21}) </tex>. <br>Тогда <tex>M_{1}</tex> работает без прерываний, т.к к тому моменту завершения выполнения <tex>I_{1}</tex> на <tex> M_{1} </tex> все работы <tex>I_{21}</tex> выполнены на <tex>M_{2}</tex>. #<tex>T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) < T_{2}(I_{21}) </tex>.<br>Тогда <tex>M_{2}</tex> работает без прерываний, т.к к моменту завершения выполнения <tex>I_{2}</tex> на <tex> M_{2} </tex> все работы <tex>I_{12}</tex> выполнены на <tex>M_{1}</tex>.
}}
Расписание, построенное данным алгоритмом, является корректным и оптимальным.
|proof=
[[Файл: j2ni2cmax.jpg|400px|thumb|right|
Рис. 1 {{---}} Расположение работ.
<br>
В серой области могут быть прерывания.
]]
Корректность алгоритма очевидна.
Докажем оптимальность.
Пусть, для опеределенности <tex>M_{1}</tex> работает без прерываний.
Рассмотрим станок на котором достигается <tex>C_{max}</tex> . *Если это <tex>M_{1}</tex>, то оптимальность очевидна <tex>(C_{max} \geqslant \sum\limits_{i \in G_{1}} p_{i1})</tex>.*Иначе <tex>C_{max}</tex> достигается на <tex>M_{2}</tex>.Тогда ответ равен решению либо <tex>M_{2}</tex> работает без прерываний и оптимальность очевидна.Или есть прерывания.Тогда целевая функция равна ответу задачи f2cmax [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]] для работ <tex>I_{21}</tex>, который оптимален.
}}
==Сложность алгоритма==
Время работы алгоритма равно времени работы алгоритма [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]], то есть <tex>O(n\log n)</tex>.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория расписаний]]
