175
правок
Изменения
Новая страница: «== Теорема Ферма == {{Теорема |id=thFerma |author=Ферма |about=a в степени p по модулю p. |statement= <tex> a^p \equiv a(mod…»
== Теорема Ферма ==
{{Теорема
|id=thFerma
|author=Ферма
|about=a в степени p по модулю p.
|statement= <tex> a^p \equiv a(mod \text{ }p)</tex>, где '''p''' — простое.
|proof=
*1. <tex> a \vdots p</tex>, тогда, очевидно, <tex> a^p \vdots p</tex>.
*2. Рассмотрим случай '''a''' не кратного '''p'''. Рассмотрим приведенную систему вычетов <tex> r_1, r_2, \ldots , r_{p-1} </tex>.
Система <tex> ar_1, ar_2, \ldots , ar_{p-1} </tex> задает те же вычеты, только в другом порядке,
таким образом <tex> \prod_{i=1}^{p-1} ar_i \equiv \prod_{i=1}^{p-1} r_i (mod \text{ }p) </tex>,
сократив лишнее, получаем <tex> a^{p-1} \equiv 1(mod \text{ }p)</tex>. Домножив обе части на '''a''', получим теорему в изначально представленном виде.
}}
{{Теорема
|id=thFerma
|author=Ферма
|about=a в степени p по модулю p.
|statement= <tex> a^p \equiv a(mod \text{ }p)</tex>, где '''p''' — простое.
|proof=
*1. <tex> a \vdots p</tex>, тогда, очевидно, <tex> a^p \vdots p</tex>.
*2. Рассмотрим случай '''a''' не кратного '''p'''. Рассмотрим приведенную систему вычетов <tex> r_1, r_2, \ldots , r_{p-1} </tex>.
Система <tex> ar_1, ar_2, \ldots , ar_{p-1} </tex> задает те же вычеты, только в другом порядке,
таким образом <tex> \prod_{i=1}^{p-1} ar_i \equiv \prod_{i=1}^{p-1} r_i (mod \text{ }p) </tex>,
сократив лишнее, получаем <tex> a^{p-1} \equiv 1(mod \text{ }p)</tex>. Домножив обе части на '''a''', получим теорему в изначально представленном виде.
}}
