175
правок
Изменения
Новая страница: «== Количество делителей == {{Определение |definition= Арифметическая функция <tex>~\tau (a) </tex> определ…»
== Количество делителей ==
{{Определение
|definition=
Арифметическая функция <tex>~\tau (a) </tex> определяется как число положительных делителей натурального числа '''a''':
<center><tex>
~\tau(a) = \sum_{d|a} 1
</tex></center>
}}
Если '''a''' и '''b''' [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то каждый делитель произведения '''ab''' может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей '''a''' и '''b''', и обратно, каждое такое произведение является делителем '''ab'''. Отсюда следует, что функция <tex>~\tau</tex> мультипликативна:
<center><tex>
~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b)
</tex></center>
Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''',
то в силу мультипликативности
<center><tex>
~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k})
</tex></center>
Но положительными делителями числа <tex>p_i^{\alpha_i}</tex> являются <tex>~\alpha_i+1</tex> чисел <tex>1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}</tex>.
Значит,
<center><tex>
~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1)
</tex></center>
== Сумма делителей ==
{{Определение
|definition=
Функция <tex>~\sigma (a) </tex> определяется как сумма делителей натурального числа '''a''':
<center><tex>
~\sigma (a) = \sum_{d|a} d
</tex></center>
}}
Функция <tex>~\sigma (a) </tex> мультипликативна по тем же соображениям, что и <tex>~\tau (a) </tex>
<center><tex>
~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b)
</tex></center>
{{Определение
|definition=
Арифметическая функция <tex>~\tau (a) </tex> определяется как число положительных делителей натурального числа '''a''':
<center><tex>
~\tau(a) = \sum_{d|a} 1
</tex></center>
}}
Если '''a''' и '''b''' [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то каждый делитель произведения '''ab''' может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей '''a''' и '''b''', и обратно, каждое такое произведение является делителем '''ab'''. Отсюда следует, что функция <tex>~\tau</tex> мультипликативна:
<center><tex>
~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b)
</tex></center>
Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''',
то в силу мультипликативности
<center><tex>
~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k})
</tex></center>
Но положительными делителями числа <tex>p_i^{\alpha_i}</tex> являются <tex>~\alpha_i+1</tex> чисел <tex>1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}</tex>.
Значит,
<center><tex>
~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1)
</tex></center>
== Сумма делителей ==
{{Определение
|definition=
Функция <tex>~\sigma (a) </tex> определяется как сумма делителей натурального числа '''a''':
<center><tex>
~\sigma (a) = \sum_{d|a} d
</tex></center>
}}
Функция <tex>~\sigma (a) </tex> мультипликативна по тем же соображениям, что и <tex>~\tau (a) </tex>
<center><tex>
~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b)
</tex></center>
