Изменения

Другими словами, моноид {{---}} это [[Полугруппа|полугруппа]], в которую добавлен нейтральный элемент.

* множество натуральных чисел <tex> \mathbb{N} </tex> с операцией сложения является моноидом <tex>\langle \mathbb{N}, +, 0 \rangle</tex>

* множество положительных целых <tex> \mathbb{Z}_+ </tex> с операцией умножения является моноидом <tex>\langle\mathbb{Z}_+, \cdot, 1 \rangle</tex>

* множество натуральных числел '''не''' является моноидом по умножению с нейтральным элементом <tex>1</tex>, так как <tex>1 \cdot 0 = 0</tex>, а не <tex>1</tex>, как того требует аксиома нейтрального элемента.

{{Утверждение

}}

{{Определение

|id = defmonhom

* <tex> \forall x, y \in M \colon \varphi(x\cdot_M y) = \varphi(x) \cdot_N \varphi(y)</tex>

}}

{{Определение

'''Свободным моноидом''' (англ. ''free monoid'') <tex> M </tex> '''над множеством''' <tex> S </tex> <tex>(</tex>обозначается как <tex> M_S )</tex> называется моноид над множеством <tex> S^* </tex> {{---}} набором всевозможных последовательностей (или списков) конечной длины (в том числе и нулевой), образованных из элементов множества <tex> S </tex> {{---}} с ассоциативной операцией [[Основные определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов; операции над языками#defconcat|конкатенации]] <tex>\texttt{++}</tex> этих последовательностей.

}}

* тривиальный пример: множество <tex> S = \varnothing </tex>. Тогда <tex> S^* = \{\varnothing\} </tex>.

* <tex> S = \{1\} </tex>. Тогда <tex>S^* = \{[], [1], [1, 1], ... \} </tex>.

{{Определение

Моноид <tex>M</tex> называется '''свободным''', если он [[Изоморфизм групп | изоморфен]] некоторому свободному моноиду над каким-то множеством.

}}

* <tex>\langle \mathbb{N}, +, 0 \rangle </tex> {{---}} пример свободного моноида, так как он изоморфен свободному моноиду над <tex>S = \{1\}</tex>:

** <tex>i(a + b) = i(a) ~ \texttt{++} ~ i(b)</tex>

Введём дополнительное определение, чтобы привести пример моноида, не являющегося свободным.