175
правок
Изменения
→Китайская теорема об остатках
<tex> x-y \rightarrow (0 , 0 , \ldots , 0) \Leftrightarrow (x-y) \vdots m_i </tex>, значит <tex> x \equiv y(mod \text{ } \prod n_i )</tex>. То есть разных наборов всего n. <br>
Конструктивное доказательство: <br>
Необходимо вычислить элемент <tex> a </tex> по заданным <tex> (a_1 , a_2 , \ldots , a_k) </tex>. Сначала определим величины <tex> m_i = \frac{n}{n_i}</tex>. Другими словами, <tex> m_i</tex> {{---}} произведение всех значений <tex> n_j</tex>, отличных от <tex> n_i</tex>. Затем определим <tex> c_i = m_i({m_i}^{-1} mod \text{ }n_i) </tex>. Величину <tex> a </tex> можно вычислить по формуле <tex> a \equiv (a_1c_1 + a_2c_2 + \ldots + a_kc_k)(mod \text{ } n)</tex>. Осталось показать, что это уравнение обеспечивает справедливость соотношения <tex> a \equiv a_i(mod \text{ }n_i) </tex>. Заметим, что если <tex> i \ne j</tex>, то <tex> m_j \equiv 0(mod \text{ }n_i)</tex>, откуда следует, что <tex> c_j \equiv m_j \equiv 0(mod \text{ }n_i) </tex>. Таким образом <tex> a \equiv a_ic_i(mod \text{ }n_i)</tex>.
}}
