137
правок
Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex> U = \{ v \in V: deg_{G'} (v) = n - 1 \}</tex>.
Очевидно, что <tex>\left\vert U \right\vert \ne n</tex>, потому что <tex>G'</tex> {{---}} не полный граф.
{{Лемма
|statement= <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
|proof=Пусть это не так. Получили противоречие.
}}
Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> G \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть для графа <tex>G</tex> выполнено, что <tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>, но полного паросочетания в этом графе не существует. Рассмотрим граф <tex>G'</tex> и множество вершин <tex>U</tex>, которые заданы так же как в лемме. Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то <tex>\forall S \subset V(G):</tex> <tex>o(G' \setminus S) \leqslant o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. По лемме, доказанной выше: <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов. Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа <tex>G' \setminus U</tex> мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества <tex>U</tex>. При этом мы будем использовать различные вершины из <tex>U</tex>, это возможно, так как <tex>o(G' \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert</tex>. Осталось какое-то количество непокрытых вершин множества U. Число вершин в <tex>G'</tex> четно, так как <tex>o(G' \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0</tex>, уже покрыто паросочетанием четное число вершин, значит, осталось так же четное число вершин. Так как в множество <tex>U</tex> входят вершины, которые в <tex>G'</tex> смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетанием. Таким образом, получили в <tex>G'</tex> полное паросочетание, что противоречит тому, как мы задали этот граф изначально. Значит, предположение не верно и в <tex>G</tex> существует полное паросочетание.
}}
