Изменения
→Существование и единственность
|statement=
Пусть фиксировано некотое ребро <tex> e \in E </tex> и множество <tex> A \subset E\backslash {e}</tex>. Обозначим через <tex> \rho _1(A), \rho ^{*}_{1} (A), \overline {\rho _1}(A) </tex> ранги множества <tex> A </tex> в графе <tex> G/e </tex>, а через <tex> \rho _2(A), \rho ^{*}_{2}(A), \overline {\rho _2}(A) </tex> - ранги в графе <tex> G\backslash e </tex>. Тогда для множества <tex> A' = A\cup {e}</tex> выполняются следующие соотношения:
# Если <tex> e </tex> не петля, то <tex> \rho ^{*}(A') = \rho ^{*}_{1} (A) </tex> и <tex> \overline{\rho} (A') = \overline {\rho _{1}} (A) </tex>;# Если <tex> e </tex> не мост, то <tex> \rho ^{*}(A') = \rho ^{*}_{2} (A) </tex> и <tex> \overline{\rho} (A') = \overline {\rho _{2}} (A) </tex>;# Если <tex> e </tex> мост, то <tex> \rho ^{*}(A') = \rho ^{*} (A) - 1 </tex> и <tex> \overline{\rho} (A') = \overline {\rho} (A) </tex>;# Если <tex> e </tex> петля, то <tex> \rho ^{*}(A') = \rho ^{*} (A) </tex> и <tex> \overline{\rho} (A') = 1 + \overline {\rho} (A) </tex>.
|proof=
# Стягивание ребра <tex> e </tex> в любом случае не меняет числа компонент связности, поэтому <tex> \rho ^{*}(A') = \rho ^{*}_{1} (A) </tex>.Если <tex> e </tex> не петля, то стягивание также не меняет числа лишних рёбер, откуда <tex> \overline{\rho} (A') = \overline {\rho _{1}} (A) </tex>.# Если <tex> e </tex> не мост, то удаление ребра <tex> e </tex> не меняет числа компонент связности, откуда <tex> \rho (A) = \rho _2(A)</tex> и <tex> \rho (E) = \rho _2 (E \backslash {e}) </tex>.Подставляя эти равенства в формулы для <tex> \rho ^{*} </tex> и <tex> \overline {\rho} </tex>, получаем <tex> \rho ^{*}(A') = \rho ^{*}_{2} (A) </tex> и <tex> \overline{\rho} (A') = \overline {\rho _{2}} (A) </tex>, что и требовалось.# Если <tex> e </tex> мост, то в графе
}}
