Изменения

|statement=В графе <tex>\mathbb{G}</tex> существует полное паросочетание <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\forall S \subset V(\mathbb{V_\mathbb{G)}}</tex> выполнено условие: <tex>o(\mathbb{G } \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>

<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G}</tex> и множество вершин <tex>S \subset V(\mathbb{V_\mathbb{G)}}</tex>.

Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> \mathbb{G } \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>o(\mathbb{G } \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.

<tex>\Leftarrow</tex> Пусть для графа <tex>\mathbb{G}</tex> выполнено, что <tex>o(\mathbb{G } \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>, но полного паросочетания в этом графе не существует.

Рассмотрим граф <tex>\mathbb{G'}</tex> и множество вершин <tex>U</tex>, которые заданы так же как в лемме(из леммы). Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то <tex>\forall S \subset V(\mathbb{V_\mathbb{G):}}</tex> выполнено, что <tex>o(\mathbb{G' } \setminus S) \leqslant o(\mathbb{G } \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. По лемме, доказанной выше: <tex>\mathbb{G' } \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.

Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа <tex>\mathbb{G' } \setminus U</tex> мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества <tex>U</tex>. При этом мы будем использовать различные вершины из <tex>U</tex>, это возможно, так как <tex>o(G' \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert</tex>. Осталось какое-то количество непокрытых вершин Если все вершины множества U. Число вершин в <tex>G'U</tex> четнооказались покрытыми, так как то мы получили полное паросочетание в графе <tex>o(\mathbb{G' \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0}</tex>. Противоречие, уже покрыто паросочетанием четное число вершин, значит, осталось так же четное число вершин. Так как в множество <tex>U</tex> входят вершины, которые по построению в <tex>\mathbb{G'}</tex> смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетаниемнет полного паросочетания.

Значит, в <tex>U</tex> осталось какое-то количество непокрытых вершин, при этом их четное число, потому что число вершин в <tex>\mathbb{G'}</tex> четно, так как <tex>o(\mathbb{G'} \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0</tex> и уже покрыто паросочетанием четное число вершин. Так как в множество <tex>U</tex> входят вершины, которые в <tex>\mathbb{G'}</tex> смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетанием. Таким образом, получили в <tex>\mathbb{G'}</tex> полное паросочетание, что противоречит тому, как мы задали этот граф изначально. Значит, предположение не верно , и в <tex>\mathbb{G}</tex> существует полное паросочетание.