Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition ='''Нечетная компонента связности''' графа <tex>o(\mathbb{G})</tex> {{---}} компонента число нечетных компонент связности, содержащая нечетное число вершин.}} {{Определение|definition =в графе <tex>o(\mathbb{G})</tex> , где '''нечетная компонента''' {{---}} это компонента связности, содержащая нечетное число нечетных компонент связности в графе <tex>\mathbb{G}</tex>вершин.
}}
==Критерий Татта==
Пусть <tex> U = \{ v \in V: deg_{G'} (v) = n - 1 \}</tex>.
Возможны два случая:
* Вершины <tex>x,z</tex> и <tex>y,t</tex> лежат в разных полных подграфах графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex>, например, в обозначим их <tex>H_1</tex> и <tex>H_2</tex>, соответственно.
Покроем вершины подграфа <tex>H_1</tex> паросочетанием <tex>M_2</tex>, при этом заметим, что ребро <tex>xz</tex> не входит в это паросочетание. Аналогично покроем паросочетанием <tex>M_1</tex> вершины подрафа <tex>H_2</tex> и ребро <tex>yt</tex> не войдет в это паросочетание. Если остались еще какие-то непокрытые вершины, не входящие в паросочетание, то выберем для них любые ребра покроем их ребрами из паросочетаний любого паросочетания <tex>M_1</tex> и или <tex>M_2</tex>. Таким образом, мы получим полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>, что противоречит тому, как мы изначально построили этот графего построению.
* Вершины <tex>x,y,z</tex> и <tex>t</tex> лежат в одном подграфе графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex>.
Построим граф <tex>H</tex>, такой что <tex>\mathbb{V_\mathbb{H}}=\mathbb{V_\mathbb{G'}}=\mathbb{V_\mathbb{G}}</tex> и <tex>\mathbb{E_\mathbb{H}}=M_1 \oplus M_2</tex>. Получим, что вершины <tex>x,y,z</tex> и <tex>t</tex> лежат на каком-то чередующемся цикле. В силу симметричности <tex>x</tex> и <tex>z</tex> можно считать, что вершины расположены в порядке <tex>tzxy</tex>. Тогда существует путь <tex>P_1=t..zx..y</tex> и полное паросочетание в нем, но так же следовательно существует и путь <tex>P_2=t..zy..x</tex>, содержащий только ребра графа <tex>\mathbb{G'}</tex>. ЗначитТогда покроем путь <tex>x..yz</tex> ребрами паросочетания <tex>M_2</tex>, существует а путь <tex>t..z</tex> покрооем ребрами паросочетания <tex>M_1</tex>, при этом вершина z останется непокрытой. Получили полное паросочетание на вершинах, выбранного подграфа. В остальных подграфах выберем ребра любого из паросочетаний <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. Таким образом, получили полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>, противоречие.
В каждом из возможных случаев получили предположениепротиворечие, значит , наше начальное предположение тоже неверно и <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов, лемма доказана.
}}
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть для графа <tex>\mathbb{G}</tex> выполнено, что <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>, но полного паросочетания в этом графе не существует.
Рассмотрим граф <tex>\mathbb{G'}</tex> и множество вершин <tex>U</tex> (из леммы). Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то <tex>\forall S \subset \mathbb{V_\mathbb{G}}</tex> выполнено, что <tex>o(\mathbb{G'} \setminus S) \leqslant o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. По лемме, доказанной выше: <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества <tex>U</tex>. При этом мы будем использовать различные вершины из <tex>U</tex>, это возможно, так как <tex>o(G' \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert</tex>. Если все вершины множества <tex>U</tex> оказались покрытыми, то мы получили полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>. Противоречие, так как по построению в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания.
