85
правок
Изменения
Нет описания правки
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex>
===Треугольник чисел Эйлера I рода===
[[Файл:Euler_I_hist.gif|300px|thumb|Числа Эйлера I рода (m < 90)]]
[[Файл:Binomial_hist.gif|300px|thumb|Биномиальные коээфициенты (m < 60)]]
===Явная формула===
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex>
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex>
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex>
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex>
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n} (-1)^{n-j} {m+1\choose n-j}j^{m}</tex>
===Свойства===
