Изменения

Отметим, что в гамильтоновом графе <tex>G</tex>, очевидно, нет мостов и граница любой грани {{---}} простой цикл. Поэтому размер границы каждой его грани не более <tex>V(G)</tex>. Пусть у <tex>e</tex> и <tex>e' </tex> {{---}} количества рёбер графа <tex>G</tex>, лежащих внутри областей <tex>R </tex> и <tex>R' </tex> соответственно. Так как <tex>C </tex> {{---}} гамильтонов цикл графа <tex>G</tex>, то область R разбита на <tex>e + 1 </tex> граней. а область <tex>R' </tex> {{---}} на <tex>e' + 1 </tex> граней. Получаем соотношения: (1) <math>\sum_{i=3}^{V(G)}k_i=e+1</math> , <math>\sum_{i=3}^{V(G)}k'_i=e'+1</math> Каждое внутреннее ребро области <tex>R</tex> входит в границы двух внутренних граней области <tex>R</tex>, а каждое ребро цикла <tex>C</tex> {{---}} в границу одной внутренней грани этой области. Аналогичное соотношение верно и для <tex>R'</tex>. Следовательно, (2) <math>\sum_{i=3}^{V(G)}i*k_i=2e+E(C)</math>, <math>\sum_{i=3}^{V(G)}i*k'_i=2e'+E(C)</math> Из соотношений (1) и (2) получаем:  <math>\sum_{i=3}^{V(G)}i(k_i-k'_i)=2(e - e')=\sum_{i=3}^{V(G)}2(k_i-k'_i)</math> откуда немедленно следует доказываемое утверждение.