85
правок
Изменения
→Свойства
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;
''Доказательство''
Положим <tex>\Xi_m^n</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>I^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>.
:<tex>\Xi_m^n </tex><tex>:= \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex>
Тогда перейдем к следующему равенству:
:<tex>Vol_{n}(\Xi_m^n) = Vol_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - Vol_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex>
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex>
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex>
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex>
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.
