Изменения

В этом направлении много усилий приложили Вильям Томас '''Татт''' (''William Thomas Tutte''), Клауд Клод '''Берж'''(''Claude BregeBerge''), Джек '''Эдмондс'''(''Jack Edmonds'') и Тибор '''Галлаи'''(''Tibor Gallai''). {{Определение |definition=<tex>\mathrm{odd}(G)</tex> - количество [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонент связности]] нечетного размера в <tex> G</tex>.}} 

'''Дефицитом''' (англ. ''deficit'') графа <tex>G </tex> мы будем называть величину: <br>

где <tex>\alpha (G)</tex> {{- --}} размер [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#theorem1|максимального паросочетания]] в <tex>G</tex>, а <br><tex>V(G)</tex> {{--- }} множество вершин графа <tex>G. </tex>}}{{Определение|definition =<tex>\mathrm{odd}({G})</tex> {{---}} число нечетных компонент связности в графе <tex>{G}</tex>, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин.

Для любого графа <tex>G </tex> выполняется:<br><tex>\mathrm{def}(G) = \max\limits_{S \subset V(G)} \{\mathrm{odd}(G - S) - |S|\}.</tex>|proof= <tex> \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n ( mod \; 2) \;</tex>  Рассмотрим несколько случаев:  1. Если <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; </tex>, тогда для любых <tex>S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; </tex>, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю.  2. Если <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; </tex>, тогда рассмотрим исходный граф <tex>G</tex> и полный граф <tex>K_k</tex> с <tex>k</tex> вершинами, <tex>W</tex> - вершины <tex>K_k</tex>. Каждую вершину <tex>K_k</tex> соединим с каждой вершиной <tex>G</tex>. Получим граф <tex>H \; = \; K_k + G \;</tex>, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых <tex>S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; </tex>. Рассмотрим <tex>S \; \subset \; V_H\;</tex>: * Если <tex>W \not\subset S</tex>, тогда поскольку граф <tex>K_k</tex> полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа <tex>G</tex>, то граф <tex>H</tex> связный и <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;</tex> или <tex>odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>. ** В случае <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; </tex> условие очевидно выполняется, так как для любых <tex>S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;</tex>. ** Рассмотрим случай <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>, <tex>|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; </tex>, где <tex>A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; </tex>. Разность <tex>odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; </tex> имеет ту же четность, что и <tex>n</tex>, и <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>, поэтому <tex>|V_H|</tex> четно, значит, по лемме, мощность <tex>S</tex> нечетна, следовательно она не равна нулю, значит, <tex> 1 \leq |S| </tex>.  * Если <tex>W \subset S \;</tex>, то <tex>odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; = odd(G \setminus (S \cap V)) \; - \; |S \cap V| \; + \; |S \cap V| \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; </tex>, так как <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; </tex>. Таким образом, для графа <tex>H</tex> выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе <tex>H</tex>, удалим вершины <tex>W</tex> из графа <tex>H</tex>. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин <tex>k</tex>, значит, <tex>def(G) \; \leq \; k</tex>. Удалим множество вершин <tex>A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; </tex> из графа <tex>G\;</tex>. Заметим, что после удаления в графе осталось <tex>odd(G \setminus A)\; </tex> нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на <tex>k</tex>. Значит, хотя бы <tex>k</tex> нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно <tex>def(G) \; \geq \; k \; </tex>. Из <tex>def(G) \; \leq \; k</tex> и <tex>def(G) \; \geq \; k \; </tex> следует <tex>def(G) \; = \; k \; </tex>.

<tex>\mathrm{ \alpha} (G) = \min\limits_{U \in V} \{\dfrac{1}{2}(|V|+|U|-\mathrm{odd}(G - U)\}. </tex>|proof=Предположим <tex>G</tex> {{---}} связный, иначе мы можем применить индукцию к компонентам <tex>G</tex>. Приведем доказательство по индукции по числу вершин в графе. <br><u> ''База индукции:''</u> <br>Очевидно, для <tex> n = 1 </tex> утверждение верно. <br><u> ''Индукционный переход:''</u> <br>Рассмотрим два случая:# <tex>G</tex> {{---}} содержит вершину <tex>v</tex> покрытую всеми максимальными паросочетаниями (например средняя вершина)#: Тогда <tex> \mathrm{\alpha}(G - v) = \mathrm{\alpha}(G) - 1</tex>.#: По индукции, формула Татта-Берджа содержит <tex>G - v</tex> для некоторого множества <tex>U'</tex>. Пусть <tex>U = U' \bigcup v</tex>. Тогда:#: <tex> \mathrm{\alpha}(G) = \mathrm{\alpha}(G - v) + 1 = \dfrac{1}{2}(|V- v|+|U -v| - \mathrm{odd}(G - v - (U - v))) + 1 = </tex>#: <tex> = \dfrac{1}{2}(|V| - 1 + |U|- 1 -\mathrm{odd}(G-U)) + 1 = \dfrac{1} {2}(|V|+|U| - \mathrm{odd}(G - U)). </tex>#:# Для каждой вершины <tex>v</tex> есть максимальное паросочетание <tex>M</tex> которое не покрывает <tex>v</tex> (например <tex>C_3</tex>)#:#: Покажем, что существует паросочетание размера <tex> \dfrac{1}{2}(|V| - 1) </tex>, из которого следует теорема (при <tex> U = \emptyset </tex>).#: <u> ''От противного:''</u>#: Предположим что любое максимальная паросочетание <tex> M </tex> не покрывает, по крайней мере, две различные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Среди всех таких <tex> (M, u, v) </tex> выберем их так, что <tex> \mathrm{d}(u, u) </tex> в <tex> G </tex> {{---}} минимально.#: Если <tex> \mathrm{d}(u, u) = 1 </tex>, то <tex> u </tex> и <tex> v </tex> являются смежными, и, следовательно, мы можем увеличить <tex> M </tex>, что противоречит его максимальности.#: Значит <tex> \mathrm{d}(u, u) \geqslant 2 </tex>, и, следовательно, мы можем выбрать промежуточную вершину <tex> t </tex> на пути <tex> u-v </tex> и <tex> N </tex> максимальное паросочетание, такое что симметрическая разность с <tex> M </tex> минимальна. Так как <tex> (M, u, v) </tex> минимально, то <tex> N </tex> должно охватывать <tex> u </tex> и <tex> v </tex> так, что есть другая вершина <tex> x </tex>, покрытая только в <tex> M </tex>.#: Пусть <tex> y </tex> будет вершиной покрытой с <tex> x </tex> в <tex> M </tex> и заметим <tex> y \neq t </tex> (иначе можно было бы добавить к <tex> N </tex>). Пусть <tex> z </tex> будет вершиной покрытой с <tex> y </tex> в <tex> N </tex> и заметим <tex> z \neq x </tex> (так как <tex> x </tex> не покрыто в <tex> N </tex>). Тогда <tex> N - yz + xy </tex> {{---}} паросочетание, которое имеет с <tex> M </tex> меньшую симметрическую разность, что противоречит выбору <tex> N </tex>.

Множество <tex>S \subset V (G)</tex>, для которого <tex>\mathrm{odd}(G - S) - |S| = \mathrm{def}(G) </tex>, называется '''барьером'''(англ. ''barrier'').

|definition=Пусть <tex>X \subset V </tex>. '''Множeство соседей''' (англ. ''neighbors'')<tex>X</tex> определим формулой: <tex>N(X)= \{ y \in V: (x,y) \in E \}</tex>

 ==Структурная теорема Эдмондса-Галлаи==

Необходимые определенияСтруктурные единицы декопозиции:[[Файл: EG_red.png|300px|thumb|right|Пример. Рёбра из паросочетания выделены красным]]# <tex>D(G) = \{v \in V |\mid </tex> существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]], не покрывающее <tex> v\}</tex>

# <tex>C(G) = V \setminus( D(G) \bigcup A(G) )</tex># <tex> \alpha (G) </tex> {{- --}} размер максимального паросочетания в <tex>G. </tex> (англ. ''maximum matching in G'')

<tex>G</tex> {{- --}} фактор-критический граф <tex> \Leftrightarrow </tex> <br><tex>G</tex> {{--- }} связен и для любой вершины <tex>u \in V(G) </tex> выполняется равенство <tex> \alpha (G - u) = \alpha (G)</tex>.

Достаточно доказатьДля начала докажем, что <tex>D(G - a) = D(G)</tex>. <br>[[Файл: Gallai-lema-a.png|150px|thumb|right|Случай '''а''']][[Файл: Gallai-lema-b.png|150px|thumb|right|Случай '''b''']][[Файл: Gallai-lema-с.png|150px|thumb|right|Случай '''c''']]# покажемПокажем, что <tex>D(G - a) \supset D(G)</tex> : <br>#:Пусть <tex>u \in D(G)</tex>. Тогда существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]] <tex>M_u</tex> графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>u</tex>. Поскольку любое максимальное паросочетание графа <tex>G</tex> покрывает <tex>a</tex>, то <tex> \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1 </tex> и более того, если, для некоторой вершины <tex>x \in D(G)</tex>, <tex>ax \in M_u</tex>, то <tex>M_u \setminus {ax} </tex> {{--- }} максимальное паросочетание графа <tex> G - a </tex>, не покрывающее <tex> u </tex>. Таким образом, <tex>D(G - a) \supset D(G) </tex>. <br>

Предположим, что существует максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex> G - a</tex>, не покрывающее вершину <tex>v</tex> <tex>not \in notin D(G)</tex>. Пусть <tex> w \in D(G) </tex> {{- --}} смежная с <tex> a \in A(G)</tex> вершина, а <tex> M_w </tex>{{--- }} максимальное паросочетание графа <tex> G </tex>, не покрывающее <tex> w </tex>. Так как <tex>v</tex> <tex>not \in notin D(G) </tex>, максимальное паросочетание <tex> M_w </tex> покрывает вершину <tex>v</tex>. Рассмотрим граф <tex> H = G(M_w \bigcup M') </tex> {{- --}} очевидно, он является объединением нескольких путей и чётных циклов. Пусть <tex> U </tex> {{- --}} компонента связности графа <tex> H </tex>, содержащая <tex>v</tex>. Так как <tex> deg_H(v) = 1 </tex>(степень вершины), то <tex> P = H(U) </tex> {{- --}} путь с началом в вершине <tex>v</tex>. В пути <tex>P</tex> чередуются рёбра из <tex> M_w </tex> и <tex>M' </tex>, причём начинается путь ребром из <tex>M_w </tex>. Так как <tex> deg_H(a) = 1 </tex>, то вершина a либо не принадлежит пути <tex>P</tex>, либо является её концом (в этом случае последнее ребро пути принадлежит паросочетанию <tex> M_w</tex>). Рассмотрим несколько случаев: <br>

<tex> M_w </tex> и <tex>E(P)</tex>. то есть, рёбра, входящие ровно в одно из двух множеств).Очевидно, <tex>M_v</tex> {{--- }} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>v</tex>, поэтому <tex> v \in D(G)</tex>, противоречие. <br>

[[Файл: Gallai-lema-b.png|150px|thumb|right|случай '''b''']]'''b.''' Путь <tex>P</tex> кончается ребром из <tex> M_w</tex>, вершина <tex>a </tex> {{--- }} конец пути <tex>P</tex>. (см.рисунок)<br>Рассмотрим паросочетание <tex>M_v∗ = (M_w \oplus E(P)) \bigcup \{aw\} </tex>. Тогда <tex> M_v∗ </tex> {{- --}} максимальное паросочетание графа <tex> G </tex>, не покрывающее <tex> v </tex>, поэтому <tex> v \in D(G) </tex>, противоречие.

А значитНаконец, так как <tex>Da \in A(G)</tex>, то все максимальные паросочетания в <tex>G</tex> включали <tex>a</tex>. Следовательно, <tex>\alpha (G - a) < \alpha (G)</tex>. Заметим, что, взяв любое максимальное паросочетания в <tex>G</tex> и удалив ребро инцидентное <tex>a</tex>, мы получим паросочетание <tex>M'</tex>, которое на 1 меньше исходного, при этом <tex>M' \in E(G - a)</tex>. В свою очередь, это самое большое паросочетание, которое мы могли теоретически получить в <tex>G - a</tex>. Следовательно, <tex> \alpha (G - a) = D\alpha (G)- 1.</tex>.

Пусть <tex>G </tex> {{--- }} граф, <tex>U_1,{...},\ldots U_n</tex> {{--- }} компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, <tex>D_i = G(U_i), C = G(C(G))</tex>. тогдаТогда: 

# Графы <tex>D_1,{...},\ldots D_n</tex> {{- --}} фактор-критические. <br># Любое максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> состоит из совершенного паросочетания графа <tex>C</tex>, почти совершенных паросочетаний графов <tex>D_1,{...},\ldots D_n</tex> и покрывает все вершины множества <tex>A(G)</tex> рёбрами с концами в различных компонентах связности <tex>U_1,{.\ldots U_n..},U_n</tex> <br># <tex>\mathrm{def}(G) = n - |A(G)|, .</tex> <br># <tex>2\mathrm{\alpha}(G) = v(G) + |A(G)| - n</tex>. 

# Последовательно удаляя вершины множества<tex> A = A(G)</tex>, по лемме о стабильности мы получим:

#:Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из <tex>C(G - A)</tex> и <tex>D(G - A)</tex>. Каждое максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex>G - A</tex> покрывает все вершины множества <tex>C(G)</tex>, поэтому <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex>. Тем самым, мы доказали пункт <tex>1)</tex>.

# Из формулы <tex> \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует, что <tex>U_1,{...},\ldots U_n</tex>{{- --}} компоненты связности графа <tex>G - A</tex>. Для любой вершины <tex>u \in U_i</tex> существует максимальное паросочетание <tex>M_u</tex> графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. Так как <tex>U_i</tex> {{-- -}} компонента связности графа <tex>G - A</tex>, паросочетание <tex>M_u</tex> содержит максимальное паросочетание графа <tex>D_i</tex> (разумеется, не покрывающее вершину <tex>u</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (D_i) = \alpha (D_i - u) </tex> и по теореме Галлаи(выше) мы получаем, что граф <tex>D_i</tex> {{--- }} фактор-критический.

# Пусть <tex>M</tex> {{- --}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \ge geqslant |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> {{- --}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрами. Так как <tex>M'</tex> {{- --}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам <tex>1) </tex> и <tex>2) </tex> очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D_1,{...},\ldots D_n</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U_1,{...},\ldots U_n</tex>. # Из пункта <tex>3) </tex> сразу же следуют оба равенства пункта <tex>4)</tex> и <tex>5)</tex>.}}

|id = barier_struct1a|about=следствие Следствие из теоремылеммы|statement=В любом максимальном паросочетании все вершины барьера соединены соединены с вершинами <tex>G \setminus B</tex>|proof=Так как для барьера <tex>B</tex> верно, что <tex>odd(G\setminus B) - |B|=def(G) \geqslant 0</tex>, то ровно <tex>|B|</tex> вершин из нечётных компонент <tex>G \setminus B</tex> покрыты рёбрами <tex>xv \in M \land v \in B</tex>}} {{Лемма|id = barier_struct2|about = о дополнении барьера|statement= Пусть <tex>x\in A(G)\cup C(G),\ G'=G\setminus x,\ B'</tex> {{---}} барьер графа <tex>G'</tex>. Тогда <tex>B=B'\cup x</tex> {{---}} барьер графа <tex>G</tex>|proof= Так как <tex>x \notin D(G)</tex>, то для любого максимального паросочетания <tex>M: x \in M</tex>. Следовательно, <tex>|M'| = |M| - 1</tex>, где <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание в <tex>G'</tex>. <tex>def(G') = (|V| - 1)- 2 \cdot |M'| = |V| - 2 \cdot |M| + 1 = def(G) + 1</tex>  <tex>odd(G - (B'\cup x)) = odd(G'- B'барьер) = </tex><tex>|B'| + def(G') = |B' | + 1 + def(G) = |B'\cup x| + def(G)</tex>Отсюда следует, что <tex>B</tex> {{---}} барьер графа <tex>G</tex>. }} {{Теорема|id=barier_struct3 |about=о структуре барьера|statement=Любой барьер графа состоит только из вершин <tex>A(G)\cup C(G)</tex>, причём каждая вершина из этого множества входит в какой-то барьер|proof=По лемме о связи барьера с <tex>D(G)</tex> мы знаем, что в барьере нет вершин вершин из <tex>D(G)</tex>. По лемме о дополнение барьера мы можем взять любую вершину из <tex>A(G)\cup C(G)</tex>, удалить из графа, и с помощью барьера нового графа получить барьер исходного, включающий данную вершину.

== Источники информации==

*[http://logicimmorlica.pdmicom/combOpt/lec2.ras.rupdf Edmonds-Gallai Decomposition, Edmonds’ Algorithm]*[https:/~dvk/211www.youtube.com/graphs_dkwatch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.pdf ДС.В Карпов - теория графовСтанкевича]