85
правок
Изменения
Нет описания правки
|}
===Явная формула===Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта Явные формулы. Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>n</tex>-той строки равен 1, а второй {{---}} <tex>2^{n} - (n + 1)</tex>. Третий выражается как:<tex>3^{n}-(n + 1)2^n + \frac{(n+1)n}{2};</tex> и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме::<tex>\left\langle{n\atop 0}\right\rangle = {{n + 1} \choose {0}}1^{n}</tex>:<tex>\left\langle{n\atop 1}\right\rangle = - {{n + 1} \choose {1}}1^{n} + {{n + 1} \choose {0}}2^{n} </tex>:<tex>\left\langle{n\atop 2}\right\rangle = {{n + 1} \choose {2}}1^{n} - {{n + 1} \choose {1}}2^{n} + {{n + 1} \choose {0}}3^{n} </tex> Тогда нетрудно проверить (по индукции), что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{m+1} (-1)^{m-j+1} {n+1\choose m-j+1}j^{n}</tex>
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j {n+1\choose j} (m+1-j)^n</tex>
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===
