Изменения

|statement=Для любого натурального числа <tex>k\ge 2</tex>=2 выполняется неравенство <tex>r(k,k)>=\ge k^{k/2}</tex>

Так как г<tex>R(2,2) = 2</tex>, достаточно рассмотреть случай к <tex> k \ge 3</tex>.зафиксируем множестес Зафиксируем множество различных помеченных вершин vi<tex>v_i,...,vnv_n</tex>. Пусть д<tex>g(пn,кk) </tex> — деля среди всех графсЕ графов на Еершинах viвершинах <tex>v_i,...,vn v_n</tex> тех гра­фовграфов, что содержат клику на к <tex>k</tex> вершинах Есегс графсЕ . Всего графов на наших Еер­шинах счеЕндно 2С« вершинах, очевидно <tex>2^{C^2_n}</tex> (каждое из возможных С2 <tex>C^2_n</tex> можно провести или не провести).Посчитаем графы с кликой на к Еершинах так: сушествует Ск спо­собов Еыбрать к вершин для клики в нашем множестве, после чегс все рёбра между ними будем считать проведенными, а остальные ребра вы­бираются произвольным сбразом. Таким сбразом, каждый граф с кли­кой на к Еершинах будет посчитан причём некоторые даже более одного раза. Количестве графов с кликой сказывается не более, чем С£-2с"_сю Следовательнс,Ск пкд(п,к) < -£ < —(1С.2s 2С1 к\ -2С1ПсдстаЕИЕ п < 2fe/2 е неравенстве (1С.2) мы получаем2fc2/2 . 2-с| 2fc/2 iд(п, к) < = — < - при к > 3.

Посчитаем графы с кликой на <tex>k</tex> вершинах так: существует <tex>C^k_n</tex> способов выбрать <tex>k</tex> вершин для клики в нашем множестве, после чего все рёбра между ними будем считать проведенными, а остальные ребра выбираются произвольным образом. Таким образом, каждый граф с кликой на <tex>k</tex> вершинах будет посчитан причём некоторые даже более одного раза. Количестве графов с кликой оказывается не более, чем <tex>C^k_n*2^{C^2_n-C^2_k}</tex>. Следовательно, <tex>g(n,k) \le \frac{C^k_n}{2^{C^2_k}}<\frac{n^k}{k!*2^{C^2_k}}</tex> Подставив <tex>n<2^{k/2}</tex> в [[#t2|неравенстве]] мы получаем <tex>g(n,k)<\frac{2^{k^2/2}*2^{-C^2_k}}{k!}=\frac{2^{k/2}}{k!}<\frac12</tex> при <tex>k \ge 3</tex> Предположим, что <tex>r(k,k) = п n< 2к12 2^{k/2}</tex> и разобьём Есе все графы на п n вершинах на пары <tex>G, \overline G </tex> (граф и егс его дополнение) Так как д<tex>g(пn,кk) < \. frac12</tex>, то существует пара, е в которой ни <tex>G. </tex>, ни <tex>\overline G </tex> не содержат клики на к Еершинах<tex>k</tex> вершинах. Рассмотрим раскраску рёбер Кп е <tex>K_n</tex> в два цвета, в которой ребра цвета 1 образуют граф <tex>G</tex>. В такой раскраске нет клики на к <tex>k</tex> вершинах ни цвета 1, ни нвета цвета 2, прстиЕоречне Следовательнспротиворечие. Следовательно <tex>r(k, гk) \ge 2^{k/2}</tex>.}}{{Утверждение|id=ts2|about=Следствие 2|statement=Для любых <tex>k,m \in N</tex> таких, что <tex>2 \le k \le m</tex>, выполняется неравенство <tex>r(кk,кm) \ge 2^{k/2}</tex> 2к12. □