Изменения

Теорема 10,4. Пусть то, fc,ni,... ,пк — патуралънье число, причём к > 2. ani,... ,пк > т. Тогда число Рамсея rm(k;ni,... ,пк) существует) (то eemt ксиечьоуДоказательство, 1, Мы будем доказывать теорему пс по индукции. Нач­нем сс Начнем со случая к <tex>k= 2</tex>. Приступая к доказательству для числа rm<tex>r_m(nin_1,n2n_2) </tex> мы будем считать доказанным утверждение теоремы для чисел Рамсея всех меньших размерностей и чисел Рамсея размерности то <tex>m</tex> с меньшей суммей niсуммой <tex>n_1+n2n_2</tex>. В качестве базы будем использовать случай чисел Рамсея размерности 2 разобранный выше. Итак, мы докажем, что

Гт{пЪ П2<tex>r_m(n_1,n_2) - 1 < р \le p= rm_ir_{m-1}(rmr_m(?Ti n_1- 1, П2n_2), Гтr_m(пЬ П2 n_1,n_2- 1)).</tex>

Рассмотрим <tex>(рp+1)</tex>-элементное множество М <tex>M</tex> и выделим в нём элемент а<tex>a</tex>. Пусть М0 — М<tex>M_0=M</tex>\ {а<tex>a</tex>}. Пусть р <tex>\alpha: Мт —M^m\rightarrow</tex> {1,2} — произвольная раскраска в деэ нЕСтадва цвета. Рассмотрим раскраску р<tex>\alpha' : М™M_0^{m-1 —}\rightarrow</tex> {1,2}. , определённую следующим сбразомобразом: для каждого мнежества В £ М™множества <tex>B \in M_0^{m-1 }</tex> пусть р<tex>\alpha'(В) = p\alpha(BUB U</tex>{a}<tex>)</tex>.Так как \М0\ <tex>|M_0|= р </tex>, либо существует rm<tex>r_m(ni n_1 — 1, ?г2n_2)</tex>-злементное под­множестве Mi с М0элементное подмножество <tex>M_i \subset M_0</tex>, для кет ер его ркоторого <tex>\alpha'(В) — =1 </tex> на всех В £ Mf1<tex>B \in M_1^{m-1. }</tex>, либо существует rm<tex>r_m(nin_1,n2 — n_2-1)</tex>-элементнсе подмнсжество М2 С М0. элементное подмножество <tex>M_2 \subset M_0</tex>, для ко-тсрсю ркоторого <tex>\alpha'(ВB) = 2 </tex> на всех В е М™'<tex>B \in M_2^{m-1}</tex>. Случаи аналсгичныаналогичны, рассмотрим первый случай и множество МхПс индукнионнсму предположен и к не |Mi| = rm{n\ — 1,п2) следует что либс существует п\ — 1 элементнсе подмнсжество Nx С Mi- для кото-рсго р(А) = 1 на всех А £ N™, либо существует п2-эле мен тис с подмноже­ство N2 С Mi, для которого р{А) = 2 на Есех А £ N™. Вс втором случае искомое подмножество найдено (это N2). рассмотрим перЕый случай и множество N = N± U{a}. Пуств А £ Nm. Если А $ а то А £ iVf1 и следо­вательно р(А) = I. Если же А э а. тс множестве А\{а} £ N™'1 с М™-1 и петому = \ {а}) = 1. Учитывая, что \N\ = ni, мы нашли искомое подмножество и в этом случае2. При к > 2 будем Еести индукцию по к с доказанной выше базей к = 2. При к <tex> 2 мы докажем неравенстве rm(k;nx, ...,nk)M_1<q = rm(rm(k - ... ,nfc_i),nfe).Для этою мы рассмотрим множестве М на g вершинах и произвелвг ную раскраску р : Мт —/tex> [l..k] е /с цестов. Рассмотрим раскраску р' : Мт -д {О, А;}, е которой цвета 1,..., fc — 1 раскраски р склеены в цвет С. Тогда существует либс таксе подмножество М0 С М что |М0| = гт(/ь — 1; ni,..., ?Tfc_i) и р'(Д) = 0 на всех А £ М™. либо сушестЕует такое г^-злементное педмножестпе с М. что р(А) = р'{А) — к на Есех А 6 М£\ Во Егерем случае Мк — искомое подмножество а е пер-есм случае заметим чте на любом подмножестве А £ М™ из р'{А) = О следует р{А) £ [l..fc — 1]. Исходя из размера множества М0 по индукни-еннсму предположению получаем, чте найдется искомое подмнсжество множества М для одного из цветов 1,..., к — 1 □