Изменения

Зафиксируем т <tex>m</tex> и проведем индукцию не ппо <tex>n</tex>. База для п — <tex>n=1 </tex> очевидна. Докажем индукционный переход п — <tex>n-1 —> п \rightarrow n(п n> 1), </tex>. Рассмотрим произвольнее дереис Тп произвольное дерево <tex>T_n</tex> на п иершинах. <tex>n</tex> вершинах, пусть дереЕС Tn_i дерево <tex>T_{n-1}</tex> получено из Тп <tex>T_n</tex> удалением висячей Еергнины вершины. Пусть <tex>U </tex> — максимальнее максимальное независимое множестве ьершин вершин графа Н <tex>H</tex> Тогда \<tex>|U|=\ = аalpha(РРH) < \le m — -1. </tex>, следовательно <tex>v{H—U(H-U) > \ge (то—1m-1)(пn-2)+1 </tex> и очевидно a<tex>\alpha(H-U) \le m-1< m—1/tex>.По индукционному предположению, граф <tex>H — -U </tex> содержит в качестве подграфа дерево Tn_i <tex>T_{n-1}</tex>. Пусть а <tex>a</tex> — Еерглина вершина этого дерева, присоединив к ксторей Еисячую ьершину ксторой висячую вершину мы получим дереве Тпдерево <tex>T_n</tex>. Заметим, чте множе­ство U что множество <tex>U \cup</tex>{а<tex>a</tex>} не является независимым ввиду максимальности <tex>U</tex>. следо­вательноСледовательно, вершина а <tex>a</tex> смежна хотя с одней Есршнной х Е одной вершиной <tex>x \in U</tex>. СтметимОтметим, что х 0 <tex>x \not\in V(TnT_{n-i1}) </tex> и, присоединив ьершину х вершину <tex>x</tex> к ьершине а вершине <tex>a</tex> дерева Tn_i<tex>T_{n-1}</tex>, получим дереЕС Тп е дерево <tex>T_n</tex> в качестве подграфа графа Н<tex>H</tex>. □

|statement=Пусть Тп <tex>T_n</tex> — дерево на п верьиьпах<tex>n</tex> вершинах. Тогоа Тогда <tex>r(TnT_n,KmK_m) = (m-l1)(n-l1) + l1</tex>.