Изменения

Здесь мы будем рассматривать двудольный граф <tex>G</tex>, как

<tex>G={V1{(V_1(G),V2{V_2(G),E(G))tгде Vi(G) и V2{G) — разбиение множества Есршин V[G) на дте дели</tex>, а рёбра соединяют вершины из разных долей

где <tex>V_1(G)</tex> и <tex>V_2(G)</tex> — разбиение множества вершин <tex>V(G)</tex> на две доли, а рёбра соединяют вершины из разных долей.{{Определение 10.7. |id=def16|definition=Пусть <tex>H,G </tex> — двудольные графы. Инъективное стображение ip отображение <tex>\phi: V(H) —> \rightarrow V{(G) </tex> назовём погружением, если онс удо­влетворяет дтум ус л с внямоно удовлетворяет двум условиям.<br>1° рШН1)<tex>\phi(V_1(H) с V1) \subset V_1(G), ip\phi(V2V_2(H)) с V2\subset v_2(G) 2° (p</tex><br>2)<tex>\phi(u)tp\phi(v) е \in E(G) </tex> тогда и только тогда когда <tex>uv е Е\in E(НH) </tex>В этсм этом случае будем гсЕсритьговорить, что двудольный граф Н <tex>H</tex> погружён в ДЕудольный двудольный граф <tex>G </tex> и использовать обозначение <рtex>\phi(H)=G(\phi(V(НH)) — )</tex>}}{{Утверждение|statement=Отметим, что если существует погружение <tex>\phi</tex> двудольного графа <tex>H</tex> в двудольный граф <tex>G</tex> то индуцированный подграф <tex>\phi(ipH)</tex> графа <tex>G</tex> изоморфен <tex>H</tex>}}Напомним, что для множества <tex>X</tex> через <tex>X^k</tex> мы обозначаем множество всех <tex>k</tex>-элементных подмножеств множества <tex>X</tex>.{{Определение|definition=Назовем особым двудольный граф вида<tex>H=(V,V^k,E(H))</tex>, где <tex>E(H)=</tex>{<tex>xY|x\in V,Y\in V^k, x\in Y</tex>}}}

Замечание 1С{{Лемма|statement=Любой двудольный граф может быть погружен в особый двудольный граф.|proof=Рассмотрим произвольный двудольный граф <tex>P</tex>, пусть <tex>V_1(P)=\{a_1,..4. Отметим, чте если сушестЕует погружение у> дву­дольного графа Н в двудольный граф G тс индуцированный подграф рa_n\}, V_2(НP) графа G изоморфен Н=\{b_1,...,b_n\}</tex>. ПоложимНапомним<tex>V=\{x_1,...,x_n,y_1,...,y_n,z_1, чте для множества X через Хк мы обозначаем мнежество Есех fc-элементных подмножеств множества X.Определение 10.8. Назсьём особым двудольный граф вида,z_m\}</tex>

Я = (V, Vk, Е(Н)), где Е(Н) = {xY\x Е V, Y Е Vk, х Е Y}.Лемма 10.2. Любой двудольный граф может быть погружен Построим погружение <tex>P</tex> в особый двудольный граф.Доказательство. Рассмотрим произвольный двудольный граф Р пустьVl<tex>H=(P) = {°ь • ■ ■ ап}: ЩР) = {hV, ■ ■ ■ Ьт}. положимV = ^{ад,. . . , Хп, ?/!,..., уп, Z\, ..., zm}.Построим погружение Р в ссобый двудольный граф Н — (V, Vnn+1},E)Изначально полежим (р(щ) — Xi Попробуем псстрсить такое множе­ство Yj Е Vn+1. чте ip(bj) = Yj. По определению погружения и множества Е{Н). делжве выполняться условие У^{хи...,хп} = ч</tex>Ц1р{Ь5)). [ИР]Условие (1С.5) оставляет незаполненными п+1 — dp(bj) > 1 элементов множества Yj (единственное ограничение эти элементы не могут быть вершинами ад,... ,хп). Поместим е Yj элемент-индекс Zj (чтобы Yj ^ Yi ПРН 3 Ф Р, и дополним ироизЕСльнс элементами из yi,...,yn нтсбы в множестве Yj былс рсЕнс п+1 элементов. □