Изменения

Итак, докажем, что <tex>G = Gc" G^{C^2_n}</tex> и есть рамсеевский граф для Н<tex>H</tex>. Пусть Ри - ■ ■ iPci <tex>p_1,...,p_{C^2_n}</tex> — именно такая нумерация пар строк в нашей таблице, ь по­рядке в порядке которой совершались шаги перестройки графа. Еассмстрим про­извольную Рассмотрим произвольную раскраску рёбер р <tex>\rho</tex> графа <tex>G ь </tex> в два цвета и докажем следующий факт.{{Утверждение|statement=Для каждссс £ е [0..С2] существует изоморфные G1 иьсуьирсван-

Итак рассмотрим наш изоморфный G1 подграф который мы для простоты будем обозначать Ge и пару строку е нем пусть это строки г и j. a Pij и Gitj — те двудольные графы между этими строками, что спи­саны в шаге псстроения. Так как Pjj (подграф графа Ge) — рамссеЕСкий граф для Gij. мы межем выбрать одноцветное е раскраске р погружение Gij в Pitj и соответствующая ему по построению копия Ge_1 будет иско­мым (из построения очевидно, чте индуиирсьанным!) подграфом Ge а значит, bG □}}

Таким образом, сушестнует иземерфный G0 существует изоморфный <tex>G^0</tex> индуцированный под­граф графа <tex>G. е кстсрем </tex>, в котором для каждой пары стрск строк <tex>i,j Есе </tex> все ребра меж­ду Есршинами состЕСтстЕуюших между вершинами соответствующих строк одноцветны е в раскраске р<tex>\rho</tex>. Будем обозначать зтот этот граф просто G0<tex>G^0</tex>. Бассмстрим Рассмотрим граф Кп Еершины кото­рого <tex>K_n</tex>, вершины которого соответствуют строкам таблицы и искрасим покрасим каждое ребро в пест цвет, в который покрашены рёбра G0 <tex>G^0</tex> между соответствующими строками . Так как п <tex>n= r(k,k) </tex>, существуют к Есршин<tex>k</tex> вершин, между которыми ьсе все рёбра одно­цветныодноцветны. Рассмотрим столбец графа G°<tex>G^0</tex>, е в котором Н <tex>H</tex> размещён именно е в строчках. , соответствующих этим к <tex>k</tex> вершинам. Подграф Н<tex>H' </tex> графа G0 <tex>G^0</tex> на вершинах этого столбца и соответствующих строчках из с мор фен Н пс изоморфен <tex>H</tex>, по построению является индугшрсЕанным индуцированным подграфом графа G0 <tex>G^0</tex> и все его рёбра одноцветны в раскраске р<tex>\rho</tex>. Остаётся лишь заметить, что Я<tex>H' </tex> — ин­дуцированный индуцированный подграф графа <tex>G</tex>.