40
правок
Изменения
Новая страница: «== Алгоритм Хаффмана за O(n). == У нас есть массив частот (массив, в котором хранится число вх...»
== Алгоритм Хаффмана за O(n). ==
У нас есть массив частот (массив, в котором хранится число вхождений каждого символа в строку), отсортированный по возрастанию, нужно построить по нему код Хаффмана за <tex> O(n) </tex> (если массив не отсортирован, то это можно сделать, например,[[Цифровая_сортировка | цифровой сортировкой]] за <tex> O(n) </tex>, что не ухудшит асимптотику).
Идея алгоритма заключается в том, чтобы создать такую [[Дискретная_математика,_алгоритмы_и_структуры_данных#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B8 | очередь с приоритетами]], из которой можно было бы доставать два минимума за <tex> O(1) </tex>, после чего в эту же очередь с приоритетами положить их сумму за <tex> O(1) </tex>. У нас уже есть массив с отсортированными частотами, теперь давайте заведем второй массив, в котором мы будем хранить суммы. Несложно заметить, что в этом массиве элементы тоже будут идти по неубыванию. Допустим, что на каком-то шаге сумма получилась меньше чем предыдущая, но это противоречит тому, что на каждом шаге мы выбираем два минимальных (т.е. на каждом последующем шаге мы выбираем два минимума из элементов больших, чем на предыдущем шаге).
На каждой итерации мы будет выбирать два минимума из четырех элементов (первые 2 элемента первого массива и первые 2 элемента второго массива). Теперь рассмотрим одну итерацию подробнее.
У нас есть три варианта возможных пар минимумов :
# Оба элемента из первого массива.
# Первый элемент первого массива и первый элемент второго массива.
# Два первых элемента второго массива.
В первом варианте мы просто дописываем сумму в конец второго массива. Во втором варианте мы вычеркиваем первый элемент из второго массива и добавляем его сумму с первым элементом первого массива в конец второго. Ну и в третьем варианте, мы вычеркиваем два первых элемента второго массива и добавляем их сумму в конец этого массива.Если в первом массиве элементы закончились, а во втором осталось больше одного элемента, то они меняются ролями.
На каждом шаге количество элементов уменьшается ровно на один, а минимум из 4-х элементов мы выбираем за константное время, следовательно, программа делает ровно <tex>n</tex> итераций.
==Пример==
Для примера возьмем строку "абракадабра".
{| class="wikitable"
! Буква || д || к || б || р || а
|-
| Массив 1 || 1 || 1 || 2 || 2 || 5
|-
| Массив 2 || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex>
|}
На первом шаге два минимальных элемента - это первые две ячейки первого массива. Их сумму сохраняем во второй массив.
{| class="wikitable"
| Массив 1 || used || used || 2 || 2 || 5
|-
| Массив 2 || 2 || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex>
|}
На втором шаге снова суммируются первые две ячейки первого массива(нам все равно что взять, первый элемент второго массива или второй элемент первого).
{| class="wikitable"
| Массив 1 || used || used || used || used || 5
|-
| Массив 2 || 2 || 4 || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex>
|}
На третьем шаге два минимальных элемента - это первые две ячейки второго массива.
{| class="wikitable"
| Массив 1 || used || used || used || used || 5
|-
| Массив 2 || deleted || deleted || 6 || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex>
|}
На четвертом шаге складываются две оставшиеся ячейки.
{| class="wikitable"
| Массив 1 || used || used || used || used || used
|-
| Массив 2 || deleted || deleted || deleted || 11 || <tex>\infty</tex>
|}
У нас есть массив частот (массив, в котором хранится число вхождений каждого символа в строку), отсортированный по возрастанию, нужно построить по нему код Хаффмана за <tex> O(n) </tex> (если массив не отсортирован, то это можно сделать, например,[[Цифровая_сортировка | цифровой сортировкой]] за <tex> O(n) </tex>, что не ухудшит асимптотику).
Идея алгоритма заключается в том, чтобы создать такую [[Дискретная_математика,_алгоритмы_и_структуры_данных#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B8 | очередь с приоритетами]], из которой можно было бы доставать два минимума за <tex> O(1) </tex>, после чего в эту же очередь с приоритетами положить их сумму за <tex> O(1) </tex>. У нас уже есть массив с отсортированными частотами, теперь давайте заведем второй массив, в котором мы будем хранить суммы. Несложно заметить, что в этом массиве элементы тоже будут идти по неубыванию. Допустим, что на каком-то шаге сумма получилась меньше чем предыдущая, но это противоречит тому, что на каждом шаге мы выбираем два минимальных (т.е. на каждом последующем шаге мы выбираем два минимума из элементов больших, чем на предыдущем шаге).
На каждой итерации мы будет выбирать два минимума из четырех элементов (первые 2 элемента первого массива и первые 2 элемента второго массива). Теперь рассмотрим одну итерацию подробнее.
У нас есть три варианта возможных пар минимумов :
# Оба элемента из первого массива.
# Первый элемент первого массива и первый элемент второго массива.
# Два первых элемента второго массива.
В первом варианте мы просто дописываем сумму в конец второго массива. Во втором варианте мы вычеркиваем первый элемент из второго массива и добавляем его сумму с первым элементом первого массива в конец второго. Ну и в третьем варианте, мы вычеркиваем два первых элемента второго массива и добавляем их сумму в конец этого массива.Если в первом массиве элементы закончились, а во втором осталось больше одного элемента, то они меняются ролями.
На каждом шаге количество элементов уменьшается ровно на один, а минимум из 4-х элементов мы выбираем за константное время, следовательно, программа делает ровно <tex>n</tex> итераций.
==Пример==
Для примера возьмем строку "абракадабра".
{| class="wikitable"
! Буква || д || к || б || р || а
|-
| Массив 1 || 1 || 1 || 2 || 2 || 5
|-
| Массив 2 || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex>
|}
На первом шаге два минимальных элемента - это первые две ячейки первого массива. Их сумму сохраняем во второй массив.
{| class="wikitable"
| Массив 1 || used || used || 2 || 2 || 5
|-
| Массив 2 || 2 || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex>
|}
На втором шаге снова суммируются первые две ячейки первого массива(нам все равно что взять, первый элемент второго массива или второй элемент первого).
{| class="wikitable"
| Массив 1 || used || used || used || used || 5
|-
| Массив 2 || 2 || 4 || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex>
|}
На третьем шаге два минимальных элемента - это первые две ячейки второго массива.
{| class="wikitable"
| Массив 1 || used || used || used || used || 5
|-
| Массив 2 || deleted || deleted || 6 || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex>
|}
На четвертом шаге складываются две оставшиеся ячейки.
{| class="wikitable"
| Массив 1 || used || used || used || used || used
|-
| Массив 2 || deleted || deleted || deleted || 11 || <tex>\infty</tex>
|}
