64
правки
Изменения
Нет описания правки
Так как <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> {{---}} какие угодно граничные точки фигуры <tex>\Phi</tex>, принадлежащие соответственно прямым <tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex>, то из перпендикулярности отрезка <tex>A_1A_2</tex> к прямым <tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> следует, что ни одна из прямых <tex>L_1</tex>, <tex>L_2</tex> не может иметь с фигурой <tex>\Phi</tex> целый общий отрезок. Другими словами, каждая из этих прямых содержит единственную граничную точку фигуры <tex>\Phi</tex>.
{| border="0" width="100%"|{{Лемма
|statement=
Диаметр выпуклого полигона многоугольника равен максимальному расстоянию между параллельными опорными прямыми.
|proof=
Пусть <tex>\Phi</tex> {{---}} выпуклая фигура, <tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> {{---}} параллельные опорные прямые, расстояние между которыми имеет наибольшее возможное значение <tex>d</tex>, <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> {{---}} общие точки фигуры <tex>\Phi</tex> и прямых <tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> соответственно. По предыдущей лемме <tex>A_1A_2</tex> перпендикулярен к прямым <tex>L_1</tex>, <tex>L_2</tex>, следовательно, его длина равна <tex>d</tex>. Докажем, что расстояние между любыми двумя точками фигуры <tex>\Phi</tex> не преводходит <tex>d</tex>. Действительно, если <tex>B</tex> и <tex>C</tex> {{---}} какие-либо две точки фигуры <tex>\Phi</tex>, а <tex>m</tex> и <tex>n</tex> {{---}} опорные прямые, перпендикулярные к отрезку <tex>BC</tex>, то отрезок <tex>BC</tex> не превосходит расстояния между прямыми <tex>m</tex> и <tex>n</tex>, которое в свою очередь не превосходит <tex>d</tex>. Следовательно, длина <tex>BC</tex> не может быть больше <tex>d</tex>.
}}
|[[Файл:max_parallel.png|170px|thumb|right]]|}
== Литература ==
* ''M.I. Shamos'' Computational geometry, 1978 {{---}} С. 76.
