418
правок
Изменения
Нет описания правки
{{notreadyptready}}
==Постановка задачи==
Дан ППЛГ и некая точка <tex>P</tex>. Нужно локализовать точку в ППЛГ (выяснить, над/под каким ребром ППЛГ расположена эта точка).
==Решение=====Суть решения===
Проведём через каждую вершину вертикальную прямую. Получим полосы (slabs). Пусть каждой полосе соответствует точка, через которую проведён левый край полосы. Будем хранить отсортированный массив <tex>x</tex>-координат, тогда за <tex>O(\log n)</tex> можно найти, в какой полосе лежит <tex>P</tex>.
В каждой полосе отрезки, составляющие ППЛГ, могут пересекаться только в концах, причём эти точки пересечения могут лежать только на прямых, ограничивающих полосы (по построению). Получается, что внутри каждой полосы можно отсортировать отрезки, которые лежат в ней, например, снизу вверх. Тогда, найдя нужную полосу, можно быстро найти нужный отрезок.
===Персистентные деревья===
Персистентные структуры данных — это структуры, боже царя хранящие историю своих изменений. Персистентность бывает полная (когда можем изменять любую версию) и частичная (когда можем изменить только последнюю версию, но запросы можем делать на всех).
Один из способов сделать дерево частично персистентным — node-copying (или path-copying, в разных источниках по-разному). Храним массив корней дерева. Когда нам нужно изменить ноду, мы создаём в этом массиве новый корень, но его поля left и right совпадают с таковыми в предыдущем корне. Далее мы идём от корня к ноде, которую хотим изменить. Все вершины по пути мы «копируем» так же, как и корень, при этом у предка меняем соответствующий указатель на новый. После этого мы меняем нужную нам ноду. Таким образом, для такого дерева нам нужно <tex>O(n \log n)</tex> памяти.
Можно усовершенствовать этот способ. Теперь в каждой ноде будет храниться номер версии и поля для ленивого изменения дерева: запасные указатели left и right и номера версий для них. Когда мы хотим изменить ноду, вместо копирования записываем изменения в запасные указатели, если они ещё есть, иначе создаём новую ноду и соответственно исправляем её предка. Для поиска по версиям используем бинпоиск. Этот способ называется limited node copying.
===Локализация в полосе===
Воспользуемся сбалансированным частично персистентным деревом для хранения отрезков в полосах. Каждая полоса — это новая версия дерева.
==Время и память==
На запрос нужно <tex>O(\log n)</tex>, на препроцессинг — <tex>O(n \log n)</tex>; памяти нужно <tex>O(n)</tex>.
==Источники==
