54
правки
Изменения
Нет описания правки
== Аффинное пространство ==
Формальное определение есть, например, [http://ru.wikipedia.org/wiki/Аффинное_пространство на википедии].
Неформально: аффинное пространство - удобная геометрическая абстракция, рассматривающая точки (в отличие от векторов линейного пространства). Точки нельзя складывать между собой или умножать на число; к точке можно прибавить вектор, получив другую точку; можно получить вектор разности двух точек. Все приведенные операции обладают геометрически интуитивными и ожидаемыми свойствами.
Наряду с линейными комбинациями векторов рассматривают аффинные комбинации точек аффинного пространства <math>A</math>:
<math>\sum \lambda_i a_i</math>, где <math>\lambda_i \in \mathbb{R}, a_i \in A</math>.
По определению считают <math>\sum \lambda_i a_i = b + \sum \lambda_i \overrightarrow{(a_i - b)}, b \in A, \sum \lambda_i = 1</math> (можно показать, что только в случае равенства единице суммы коэффициентов результат не зависит от выбора точки <math>b</math>).
Также рассматривают понятие аффинной независимости точек (например, три точки на одной прямой аффинно зависимы).
Набор <math>\{a_i\}_{i=0}^{k}</math> точек называется аффинно (не-)зависимым, если линейно (не-)зависим набор векторов <math>\{\overrightarrow{a_i - a_0}\}_{i=1}^{k}</math>.
== Ориентация ==
=== Ориентация векторов ===
Рассмотрим кососимметричную линейную форму от N N-мерных векторов, т.е. функцию <math>f: X \rightarrow \mathbb{R}</math>, обладающую свойством
<math>f(\hdots, x, \hdots, y, \hdots) = -f(\hdots, y, \hdots, x, \hdots)</math>.
Из курса линейной алгебры известно, что любые две такие формы отличаются друг от друга только на некоторый множитель.
Зафиксируем одну из таких форм (например, считая, что форма равна 1 на наборе из векторов выделенного базиса).
Назовем ориентацией набора из N N-мерных векторов знак значения этой формы на этом наборе векторов.
Отметим свойства ориентации:
* Ориентация линейно зависимого набора векторов равна нулю
* Ориентация меняет знак при перестановке двух векторов в наборе
Неформальное объяснение второго свойства: рассмотрим тройку векторов, таких, что если смотреть из конца первого вектора на второй, то он будет левее, чем третий. Перестановка второго и третьего векторов будет означать, что второй вектор будет виден правее третьего, что означает смену ориентации.
Заметим, что определитель является в точности кососимметричной линейно формой от N N-мерных векторов, а значит, подходит для вычисления ориентации набора векторов.
=== Ориентация точек ===
Аналогичным образом можно определить ориентацию набора из N+1 N-мерных точек.
Ориентацией точек <math>\{a_i\}_{i=0}^{N}</math> назовем ориентацию набора векторов <math>\{\overrightarrow{a_i - a_0}\}_{i=1}^{N}</math>
Нетрудно заметить, что ориентация набора точек обладает свойствами, похожими на ориентацию векторов:
* Ориентация набора аффинно-зависимых точек равна нулю
* Ориентация меняет знак при перестановке двух точек в наборе
=== Предикат левый поворот ===
Назовем положительную ориентацию левой, а отрицательную - правой (только соглашение; левая ориентация может не совпадать с интуитивным представлением при выборе кососимметричной формы с другим знаком).
Предикат "левый поворот" по набору точек определяет, верно ли, что их ориентация - левая. Используется в большинстве алгоритмов вычислительной геометрии.
Вычислить ориентацию точек <math>\{a_i\}_{i=0}^{N}</math> (и, следовательно, предикат) можно через определитель набора векторов
<math>\{\overrightarrow{a_i - a_0}\}_{i=1}^{N}</math>.
О точном вычислении ориентации см. раздел [[Пересечение_отрезков_и_поворот:_определение,_свойства,_вычисление#Ссылки | Ссылки]].
== Ссылки ==
