Изменения

Если <tex>p\equiv 1(mod 4),p\in\mathbb{P}</tex>, то оно представимо в виде суммы двух квадратов.(В форме алгоритма)

Разложим <tex>\frac{p}{h}</tex> в цепную дробь <tex>\langle a_0,\cdots,a_n \rangle</tex>, при этом сделав <tex>n</tex> чётным.

Получим <tex>P_{n-1}Q_{n-2}-P_{n-2}Q_{n-1}a_0 =(-1)^{n}p div h \:\: a_1 = h div t_2 \dots</tex>

Также <tex>P_\frac{p_{n-21}}=(-1)^{n}h</tex>. Берём <tex>n</tex> чётным и получаем <tex>P_q_{n-21}}=\frac{p}{h=t1}</tex>.

<tex>P_{n-1}=a_Q_{n-12}-P_{n-2}+P_Q_{n-31}=(-1)^{n}</tex> ... и <tex>P_h^2+1\vdots p \: \Rightarrow p_{n-32}%p=P_n%P_(-1)^{n+1}(h^{-21}%p) =t2(-1)^n h</tex> ... Так как взяли чётную <tex>n</tex>, то <tex>P_p_{n-i-12} = t_ih</tex>

<tex>p_{n-1}=t_0 \:\: p_{n-2}=t_1 </tex> и <tex>p_{n-3}=p_{n-1}%p_{n-2}=t_0%t_1=t_2</tex> и так далее. Получаем <tex>P_{n-i-1} = t_i</tex>. Далее<tex>\frac{p}{h}=\frac{\alpha P_i +P_{i-1}}{\alpha Q_i + Q_{i-1}}, \alpha=\frac{t_{i+1}}{t_{i+2}}</tex> ... , следовательно <tex>\frac{p}{h}=\frac{t_{i+1}P_i+t_{i+2}P_{i-1}}{t_{i+1}Q_i+t_{i+2}Q_{i-1}}</tex> ... По вышесказанному <tex>t_{i+1}P_i+t_{i+2}P_{i-1}=t_{i+1}t_{n-i-1}+t_{i+2}t_{n-i}</tex> ... Теперь возьмём <tex>i=\frac{n}{2}-1 \Rightarrow \frac{p}{h}=\frac{t_{\frac{n}{2}}^2+t_{\frac{n}{2}+1}^2}{t_{\frac{n}{2}}Q_{\frac{n}{2}-1}+t_{\frac{n}{2}+1}Q_{\frac{n}{2}-2}}</tex> ... Так как <tex> t_i</tex> взаимно просты, то числитель и знаменатель взаимно просты, следовательно <tex>p=t_{\frac{n}{2}}^2+t_{\frac{n}{2}+1}^2</tex>. Что и требовалось доказать.