Изменения

В основу алгоритма положен метод [[Файл:Status_line.png|200px|thumb|right|Заметающая прямая и события]] Воспользуемся методом заметающей прямой (sweep line), которая будет расположена расположенной горизонтально и двигаться двигающейся вниз (в сторону уменьшения y-координаты). Нас будут интересовать события (events, event points) трёх типов:

причем о событиях первых двух типов мы знаем заранее, а события, являющиеся пересечением отрезков, будут обнаружены и добавлены в множество необработанных событий динамически. Будем считать, что если у двух точек равные ординаты, то выше та, что лежит левее. Таким образом верхним концом горизонтального отрезка, в силу введенного порядка, является его левый конец. Это даст нам корректную обработку вырожденного случая, когда отрезок горизонтален.  [[Файл:Sweep_line_slight_rotation.png|200px|thumb|right|Приоритет событий]] Можно представить, что заметающая прямая не горизонтальна, а повернута на малый угол против часовой стрелки, поэтому не существует такой конфигурации, что на ней лежит больше одного события (мы, для удобства, считаем точку пересечения трёх или более отрезков одним событием), а события с равными ординатами обрабатываются слева направо.

Во-первых, мы будем хранить очередь событий <tex>Q</tex> в виде сбалансированного бинарного дерева поиска, что позволит извлекать следующее событие и вставлять новое событие в очередь за <tex>O(\log{m})</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} количество элементов в очереди. Дерево будет отсортировано согласно порядку, введённому выше. Причём вместе с каждым событием мы будем хранить список отрезков, верхней точкой которых он является.

{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center|[[Файл:Upper_and_intersection.png|thumb|250px|center|Обработка верхних концов и пересечений]]|[[Файл:Lower.png|thumb|250px|center|Обработка нижних концов]]||} Как было сказано выше, мы интерпретируем пересечение более двух отрезков в одной точке как одно событие. В этом случае обработка несколько сложнее (стоит пристально посмотреть пристально на псевдокод и рисунок {{---}} и убедиться, что алгоритм корректно обрабатывает такие события). Псевдокод функции обработки события:

Описанный алгоритм обрабатывает корректно горизонтальные отрезки и точки пересечения трёх и более отрезков, но не справляется с перекрывающимися отрезками. Об этом вскользь упомянуто здесь: {|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center|[[Алгоритм Бентли-ОттманаФайл:Mantaining_status.png|thumb|450px|center|Поддержание статуса при обработке события]].||}

||proof=Рассмотрим событие <tex>q</tex> которое будет обработано непосредственно перед <tex>p</tex>. Предположим, что при обработке этого события <tex>s_i</tex> и <tex>s_j</tex> не будут соседними в статусе. Это возможно только если между ними есть третий отрезок <tex>s</tex>. Но тогда или <tex>s</tex> пересекает какой-то из отрезков <tex>s_i, s_j</tex> в точке с приоритетом выше, чем у <tex>p</tex>, но ниже, чем у <tex>q</tex>; или <tex>s</tex> пересекает их оба в точке <tex>p</tex>, что противоречит тому, что они соседние в сортировке по углу; или конец отрезка имеет приоритет выше, чем <tex> p </tex>, но ниже, чем <tex> q </tex> и отрезок не пересекает <tex>s_i, s_j</tex>. Тогда в последнем случае нарушается тот факт, что <tex>q</tex> идет непосредственно перед <tex>p</tex>. Следовательно при обработке <tex>q</tex> <tex>s_i</tex> и <tex>s_j</tex> будут соседними в статусе.