Изменения
→Анализ операции splay: 2 раза слово "время"
Разберём случаи в зависимости от типа шага:
'''Zig'''. Поскольку выполнен один поворот, то время амортизированное время выполнения шага <tex>T = 1 + r'(x) + r'(p) - r(x) - r(p)</tex> (поскольку только у вершин <tex>x</tex> и <tex>p</tex> меняется ранг). Ранг вершины <tex>p</tex> уменьшился, поэтому <tex>T \le 1 + r'(x) - r(x)</tex>. Ранг вершины <tex>x</tex> увеличился, поэтому <tex>r'(x) - r(x) \ge 0</tex>. Следовательно, <tex>T \le 1 + 3r'(x) - 3r(x)</tex>.
'''Zig-zig'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(x) + r'(p) + r'(g) - r(p) - r(x) - r(g)</tex>. Поскольку после поворотов поддерево с корнем в <tex>x</tex> будет содержать все вершины, которые были в поддереве с корнем в <tex>g</tex> (и только их), поэтому <tex>r'(x) = r(g)</tex>. Используя это равенство, получаем: <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) \le 2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)</tex>, поскольку <tex>r(x) \le r(p)</tex>.
Поскольку за время выполнения операции splay выполняется не более одного шага типа zig, то суммарное время не будет превосходить <tex>3r(t) - 3r(x) + 1</tex>, поскольку утроенные ранги промежуточных вершин сокращаются (входят в сумму как с плюсом, так и с минусом). Тогда суммарное время работы splay <tex>T_{splay} \le 3\log_2 N - 3\log_2 C(x) + 1 = O(\log_2 N)</tex>, где <tex>N</tex> - число элемнтов в дереве.
}}
== Статическая оптимальность сплей-дерева ==
{{Теорема
