3622
правки
Изменения
м
Последнее Первое неравенство верно, так как максимальное значение потенциала достигается при <tex> s(q) = W </tex>, а минимальное при <tex> s(q) = w(q) </tex>, а значит изменение потенциала не превышает разности этих величин.
→Теорема о близких запросах в сплей-дереве: мелкие правки
о близких запросах в сплей-дереве
|statement =
Пусть в сплей-дерево сложены ключи <tex> 1, \dotsc, n </tex>, зафиксируем . Зафиксируем один из ключей <tex> f </tex>, пусть . Пусть выполняется <tex> m </tex> запросов к ключам. Тогда суммарное время на запросы есть <tex> \displaystyle O(n \log_{2} n + m + \sum_{i=1}^{m} \log_2 ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1)) </tex>, где <tex> q_{i} </tex> {{---}} значение элементав вершине, к которому которой обращаются в <tex> i </tex>-ый запрос.
|proof =
<tex>\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \left( \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) = \Phi_{0} - \Phi_{m} \leqslant \sum_{q=1}^{n} \log_{2} W - \sum_{q=1}^{n} \log_{2}w(q) = \sum_{q=1}^{n} \log_{2} \frac {W}{w(q)} </tex> <tex> \displaystyle = O \Biggl(\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n^{2}\Biggr) = </tex> <tex> \displaystyle O\Biggl(2 \cdot\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n\Biggr) = O\left(n \log_{2}n\right) </tex>.
Обозначим за <tex> t </tex> корень сплей-дерева. Тогда, воспользовавшись вышеуказанной [[#Lemma1|леммой]] (можно показать, что она верна для любого фиксированного определения веса узла) получаем, что
