1632
правки
Изменения
м
* 1. Пусть :<tex>B_1, B_2 \in BLongrightarrow</tex>::Возьмем произвольную систему из r столбцов матрицы <tex>P</tex>.Для простоты обозначений будем считать, что взяты первые<tex>r</tex> столбцов (мы всегда можем переставить столбцы матрицы местами, не поменяв характера их линейной зависимости). Пусть <tex>B_1 P_1(t\subseteq B_2 \Leftrightarrow \overline times r)</tex> {{B_1---} \supseteq \overline {B_2}подматрица матрицы <tex>P</tex>, составленная из взятых первых <tex>r</tex> столбцов.Рассмотрим однородную систему линейных уравнений над пространством векторов-столбцов <tex>F^r</tex>: :::<tex>(3): P_1Y=0</tex> :: Пусть столбцы матрицы <tex>P_1</tex> линейно зависимы. Тогда по первой аксиоме для система (3) имеет ненулевое решение <tex>B_{Y</tex>. Добавим к нему снизу <tex>m - r</tex> нулей, получим ненулевое решение <tex>X</tex> системы (1,2} ). Выразим <tex>X</tex> через базис (2) пространства решений системы (1)::::<tex>(4): X=\alpha_1 X_1 + \overline alpha_2 X_2 + \ldots + \alpha_{B_2m-r} = \overline X_{B_1m-r}.</tex>* 2:: где среди коэффициентов есть хотя бы один ненулевой элемент из <tex>F</tex>. Пусть Введем в рассмотрение столбцы :::<tex> (5): X'_1, X'_2, \overlineldots, X'_{B_1m-r}, \overline </tex>:: из пространства <tex>F^{B_2m-r} \in B^*</tex> и , полученные соответственно из столбцов <tex> pX_1, X_2, \in \overlineldots, X_{B_1m-r}</tex> отбрасыванием первых <tex>r</tex> компонент.Составим из этих "урезанных" столбцов <tex> ((m - r) \times (m - r))</tex> Так как -матрицу <tex> pQ_1 = (X'_1, X'_2, \notin ldots, X'_{B_1m-r},)</tex> то в . Матрица <tex> B_1 \cup p Q_1</tex> имеется точно один цикл {{---}} это квадратная матрица порядка <tex>Cm-r</tex>. Поскольку цикл , которая является подматрицей матрицы <tex>CQ</tex> не лежит в и расположена внизу матрицы <tex>B_2Q</tex>. Из равенства (4) следует, существует что ::: <tex>q (6): 0=\alpha_1 X'_1 + \in C alpha_2 X'_2 + \cap ldots + \overline alpha_{B_2m-r} X'_{m-r}.</tex> Множество :: т.е. система столбцов квадратной матрицы <tex>(B_1 \cup p) \setminus qQ_1</tex> не содержит цикловлинейно зависима. Тогда линейно зависима и система строк этой матрицы, т.ке. разрушен единственный цикллинейно зависима система из <tex>m - r</tex> последних строк матрицы <tex>Q</tex>. Поэтому оно независимо Что и требовалось доказать. :<tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|Longleftarrow</tex>::Теперь докажем в обратную сторону.Пусть система каких-либо <tex>m - r</tex> Следовательнострок матрицы <tex>Q</tex> линейно зависима. Для простоты обозначений будем считать, что эта система состоит из последних <tex> m - r </tex> строк матрицы <tex>Q</tex>. Тогда линейно зависима система (B_1 \cup p5) \setminus q"урезанных" столбцов, составляющих матрицу <tex>Q_1</tex> - база. Тогда Следовательно, некоторая нетривиальная линейная комбинация (6) "урезанных" столбцов равна <tex>0</tex>\overline {. С помощью равенства (B_1 \cup p \setminus q4)} = \overline {определим столбец <tex>X</tex>. Поскольку система столбцов (B_1 \cup p2)} линейно независима, имеем <tex>X \cup q = ne 0</tex>. Столбец Х является решением системы (\overline {B_1} \setminus p1) \cup q,так как он равен линейной комбинации базиса пространства решений этой системы. Тогда столбец <tex>Y</tex>, полученный из столбца <tex>x</tex> где отбрасыванием последних <tex>m - r</tex>q \in \overline {B_2}нулевых компонент, является ненулевым решением системы (3).Следовательно, линейно зависима система из первых <tex>r</tex> То есть выполняется вторая аксиома базстолбцов матрицы <tex>P_1</tex>, что и требовалось доказать.
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|about=1
|definition=
'''Двойственный матроид ''' (англ. ''dual matroid'') к <tex> M = \; \langle X, \mathcal{B } \rangle</tex>''' {{--- }} это [[Определение_матроида | матроид ]] <tex>M^* _1 = \; \langle X, \mathcal B^* _1 \rangle</tex>, где <tex> \mathcal B^* _1 = \; (\{\overline {\beta} B |\; B \beta in \in mathcal B\})</tex> {{- --}} множество всех кобаз матроида <tex>M.</tex>
}}
{{Определение
|about=2
|definition=
'''Двойственный матроид''' к <tex> M = \; \langle X, I \rangle</tex> {{---}} это матроид <tex>M^*_2 = \langle X, I^*_2 \rangle</tex>, где <tex>I^*_2 = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing\}</tex>
}}
{{Теорема
|statement= Множество <tex>\mathcal B^*_1</tex> удовлетворяет [[Теорема_о_базах#base_theorem | аксиомам баз]].
|proof=
# Следует из <tex> | \mathcal B | = | \mathcal B^*_1 | </tex>.
# Предположим <tex>\overline B_1, \overline B_2 \in \mathcal B^*_1, \ \overline B_1 \ne \overline B_2, \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} </tex>. Тогда по второй аксиоме баз для <tex> B_{1,2} \ (B_1, B_2 \in \mathcal B):\ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} \Rightarrow B_2 \subseteq B_1 </tex>, а [[Теорема_о_базах#definition | определение базы]] гласит, что в таком случае <tex> B_1 = B_2, </tex> пришли к противоречию.
# Пусть <tex> \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*_1</tex> и <tex> p\in \overline{B_1}.</tex>
#: Покажем, что в <tex> B_1 \cup p </tex> содержится ровно один цикл.
#:: Так как <tex> p\notin {B_1}, </tex> то по определению базы <tex> B_1 \cup p \notin I </tex>, а значит существует цикл <tex>C \subseteq B_1 \cup p </tex>.
#:: Убедимся также, что он единственный. Положим <tex> \exists C_1, C_2 \in \mathfrak{C}: \ C_1, C_2 \subseteq B_1 \cup p,\ C_1 \ne C_2 </tex>. Заметим, что <tex> p \in C_1, C_2 </tex>, в противном случае цикл не содержащий <tex> p </tex> был бы подмножеством <tex> B_1 </tex>, что невозможно. Следовательно по [[Теорема_о_циклах | 3-му свойству циклов]] <tex> \exists C_3 \in \mathfrak{C}: \ C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p </tex>. Но помимо этого выполнено <tex> (C_1 \cup C_2) \setminus p \subseteq B_1 </tex> {{---}} противоречие.
#: Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, так как разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> {{---}} база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется третья аксиома баз.
}}
{{Теорема
|statement=Матроиды <tex> M^*_1 </tex> и <tex> M^*_2 </tex> совпадают.
|proof=
Требуется доказать: <tex> I^*_1 = I^*_2. </tex>
* <tex> A \in I^*_1 \Rightarrow A \in I^*_2 </tex>
*: Для начала покажем от противного, что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \subseteq B </tex>.
*:: Предположим <tex> S \in I </tex> {{---}} множество максимального размера среди таких, что <tex> A \subseteq S </tex>, причём <tex> S </tex> {{---}} не база. Возмём также какое-нибудь <tex> B \in \mathcal B</tex>.
*:: Раз <tex> S </tex> не база, то <tex> |S| < |B| </tex>. В таком случае по [[Определение_матроида | 3-ей аксиоме матроидов]] <tex> \exists b \in B: \ S \cup b \in I </tex>. Получили противоречие, поскольку <tex> S \cup b </tex> имеет большую мощность чем <tex> S </tex>.
*: Итак, возьмём <tex> B </tex> {{---}} базу <tex> M^*_1 </tex>, включающую в себя <tex> A </tex>. Согласно определению <tex> M^*_1 </tex> выполнено <tex>B \in \mathcal B_1 \Rightarrow \overline B \in \mathcal B </tex>. Поскольку <tex> B \cap \overline B = \varnothing, A \subseteq B </tex>, то <tex> A \cap \overline B = \varnothing </tex>. В таком случае по определению <tex> M^*_2 </tex> выполняется <tex> A \in I^*_2 </tex>.
* <tex> A \in I^*_2 \Rightarrow A \in I^*_1 </tex>
*: <tex> A \in I^*_2 </tex> означает, что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing </tex>. Последнее можно записать иначе: <tex> A \subseteq \overline B </tex>.
*: Кроме того <tex> B \in \mathcal B \Rightarrow \overline B \in \mathcal B_1 </tex> по определению <tex> M^*_1 </tex>. Получили <tex> A \subseteq \overline B \in \mathcal B_1 </tex>, откуда следует <tex> A \in I^*_1 </tex>.
}}
{{Теорема
|statement= Множество [[Определение матроида|Матроид]], двойственный к [[Примеры матроидов|матричному]] над телом <tex>B^*F</tex>, так же является матричным над телом <tex>F</tex> удовлетворяет аксиомам баз.
|proof=
: Пусть <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> {{---}} произвольный матричный матроид над телом <tex>F</tex>, <tex> X = \{1,\ldots,m\} </tex>, <tex>r</tex> {{---}} его [[Ранговая функция, полумодулярность|ранговая функция]]. Рассмотрим сначала крайний случай [[Примеры матроидов|тривиального]] и (двойственного к нему) [[Примеры матроидов|полного]] матроида. Они, очевидно, представимы над телом <tex>F</tex> нулевой и единичной матрицей соответственно.
: Пусть теперь <tex>M</tex> {{---}} произвольный нетривиальный и не полный матричный матроид. Тогда <tex>M</tex> изоморфен матроиду столбцов некоторой <tex>(t \times m)</tex>-матрицы <tex>P</tex> над телом <tex>F</tex>. Т.к. матроид нетривиален и не полный, то <tex>rg(P) = r</tex> и <tex>0 < r < m </tex>.
: Рассмотрим следующую однородную систему уравнений над пространством векторов-столбцов <tex>F^m</tex>:
:: <tex>(1): PX=0</tex>.
: Для задания базиса ФСР этой системы нам достаточно<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Решение_систем_линейных_алгебраических_уравнений Википедия {{---}} Решение систем линейных алгебраических уравнений]</ref> <tex>m - r</tex> линейно независимых векторов. Пусть
:: <tex>(2): X_1, X_2,\ldots, X_{m-r}</tex>
:{{---}} базис пространства решений системы (1). Составим из этих столбцов <tex>(m \times (m - r))</tex>-матрицу <tex>Q=(X_1, X_2, \ldots, X_{m-r})</tex>. Покажем, что матроид <tex>M^*</tex> изоморфен матроиду строк матрицы <tex>Q</tex> над телом <tex>F</tex>. Для этого нам достаточно установить, что система каких-либо <tex>r</tex> столбцов матрицы <tex>P</tex> линейно независима тогда и только тогда, когда линейно независима дополняющая ее система <tex>m - r</tex> строк матрицы <tex>Q</tex>. Дополняющая система строк {{---}} это система строк, номера которых дополняют номера столбцов исходной системы столбцов до множества <tex>\{1,\ldots, m\}</tex>.
}}
== См.также ==
*[[Аксиоматизация матроида базами]]* [[Аксиоматизация матроида циклами]]* [[Теорема о базах]] == Примечания ==<references /> == Источники информации ==* [[wikipedia:ru:Матроид#Дополнительные_понятия | Википедия {{---}} Двойственный матроид]]* [[wikipedia:en:Dual matroid | Wikipedia {{---}} Dual matroid]]* ''Michel X. Goemans'' {{---}} Advanced Combinatorial Optimization, lection 8: Mathroids.* ''Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.'' {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Основные факты теории матроидов]]
