Изменения

'''Средняя амортизационная стоимость операций''' {{---}} величина <tex>a</tex>, находящаяся по формуле: <tex dpi = "150130">a = \fracgenfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n}</tex>, где <tex>t_1,t_2, ... \dots t_n</tex> - время выполнения операций <tex>1,2, ... , \dots n,</tex> , совершённых над структурой данных.

Пусть Рассмотрим стек с операцией <tex>n\mathrm{multipop}{(a)}</tex> {{---}} количество извлечение из стека <tex>a</tex> элементов. В худшем случае она работает за <tex>O(n)</tex> времени, если удаляются все элементы массива. Однако прежде чем удалить элемент, его нужно добавить в стек. Итак, если в стеке было не более <tex>n</tex> элементов, то в худшем случае с каждым из них могли быть произведены 2 операции - добавление в стек и извлечение из него. Например, если было <tex>n</tex> операций<tex>\mathrm{push}{}</tex> - добавление в стек, стоимость каждой <tex>O(1)</tex>, и одна операция <tex>m\mathrm{multipop}{(n)}</tex> , то суммарное время всех операций {{---}} количество элементов<tex>O(n)</tex>, задействованных в этих операциях. Очевидно всего операций <tex>m \leq n+ 1</tex>, а значит, амортизационная стоимость операции {{---}} <tex>O(1)</tex> Тогда:.

Распишем приведённые рассуждения более формально.Пусть <tex dpi = "150">a = \frac{\sum\limits^{n}_{i=1} {t_i}}{n} = \frac{\sum\limits^{n}_{i=1} \sum\limits^{m}_{j=1} {t_{ij}}}{n} = \frac{\sum\limits^{m}_{j=1} \sum\limits^{n}_{i=1} {t_{ij}}}{n},</tex> где <tex>{t_{ij}}</tex> {{---}} стоимость количество операций, <tex>im</tex>{{--ой операции над <tex>j</tex>-ым элементом}} количество элементов, задействованных в этих операциях. Величина Очевидно, <tex>m \sum\limits^{leqslant n}_{i=1} {t_{ij}}</tex> не превосходит 2, т. к. над элементом можно совершить только 2 операции, стоимость которых равна 1 {{---}} добавление и удаление. Тогда:

<texdpi = "130">a = \leq genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i=1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i=1} \sum\limits^{m}_{j=1} {t_{ij}}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{m}_{j=1} \fracsum\limits^{n}_{i=1} {t_{ij}}}{n},</tex> где <tex>{t_{ij}}</tex> {{---}} стоимость <tex>i</tex>-ой операции над <tex>j</tex>-ым элементом. Величина <tex>\sum\limits^{n}_{i=1} {t_{ij}}</tex> не превосходит 2, т. к. над элементом можно совершить только 2 операции, стоимость которых равна 1 {{---}} добавление и удаление. Тогда: <tex dpi = "130">a \leqslant \genfrac{}{}{}{}{2m}{n} \leq leqslant 2,</tex> так как <tex>m \leq leqslant n</tex>.

Каждый следующий бит изменяет своё значение в <texdpi = "130">n, \genfrac{}{}{}{}{n/}{2}, \genfrac{}{}{}{}{n/}{4...} \dots</tex> операциях.Общая стоимость: <texdpi = "130"> \sum\limits_{i=0}^{\lfloor log n \rfloor} \fracgenfrac{}{}{}{}{n}{2^i} < 2n = O(n)</tex>;

<texdpi = "130"> \fracgenfrac{}{}{}{}{O(n)}{n} = O(1) </tex>;

<tex dpi = "150130">a = \fracgenfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n} = \fracgenfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {a_i} + \sum\limits^{n - 1}_{i = 0} {\Phi_i} - \sum\limits^{n}_{i = 1} {\Phi_i} }{n} = \fracgenfrac{}{}{}{}{n \relax O(f(n, m)) + \Phi_0 - \Phi_n}{n} = O(f(n, m))</tex>

=====Стек с multipop=====В качестве примера вновь рассмотрим стек с операцией <tex>\mathrm{multipop}{a}</tex>. Пусть потенциал {{---}} это количество элементов в стеке. Тогда: 1.1) <tex>a_{push} = 1 + 1 = 2,</tex> т. к. время выполнения операции <tex>\mathrm{push}{}</tex> {{---}} 1, и изменение потенциала {{---}} тоже 1.

1.2) <tex>a_{pop} = 1 - 1 = 0,</tex> т. к. время выполнения операции <tex>\mathrm{pop}{}</tex> {{---}} 1, а изменение потенциала {{---}} -1.

1.3) <tex>a_{multipop} = k - k = 0,</tex> т. к. время выполнения операции <tex>\mathrm{multipop(}{k)}</tex> {{---}} k, а изменение потенциала {{---}} -k.

Рассмотрим хэш-таблицы, использующие цепочки для разрешения коллизий. Для того, чтобы поиск элемента в цепочке не начал слишком сильно влиять на производительность, введём величину <tex> \alpha </tex> {{- --}} фактор загруженности(load factor) нашей таблицы.Пусть в нашей таблице размером <tex> m </tex> хранится <tex> n </tex> элементов, тогда <texdpi = "130"> \alpha = \fracgenfrac{}{}{}{}{n}{m} </tex>

Из-за этого сложность операции <tex>\mathrm{add}{}</tex> из <tex> O(1) </tex> станет в худшем случае <tex> O(n) </tex>, так как для пересоздания таблицы нам требуется <tex> O(n) </tex> операций.

Введём такую потенциальную функцию, что она будет "запасать" время по мере удаления фактора загруженности от <texdpi = "130">\fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2}</tex>:<tex> \phi Phi = 2|{n - m/2}| </tex>

Операция <tex>\mathrm{add}{}: n</tex> увеличивается на единицу. Следовательно, имеются три случая:

<texdpi = "130">\fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2} \leq leqslant \alpha < 1 </tex>: потенциал увеличивается на 2, следовательно амортизированное время {{- --}} <tex>1 + 2 = 3</tex>.

<texdpi = "130">\alpha < \fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2}</tex>: потенциал уменьшается на 2, и амортизированное время <tex> 1 - 2 = -1 </tex>.

<tex>\alpha = 1</tex>: Таблица увеличивается в размере, так что реальная сложность {{- --}} <tex> 1 + m </tex>. Но потенциал изменяется с <tex>m</tex> до нуля, следовательно амортизационная сложность {{--- }} <tex> 1 + m - m = 1</tex>.

<tex>\mathrm{find}{}:</tex> Потенциал не изменяется, следовательно и реальная, и амортизированная сложности {{- --}} <tex>1</tex>.

<tex>\mathrm{remove}{}: n</tex> уменьшается на единицу. Возможны три случая:

<texdpi = "130">\fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2} \leq leqslant \alpha < 1 </tex>: потенциал уменьшается на 2, и амортизированное время <tex> 1 - 2 = -1 </tex>.

<texdpi = "130">\alpha < \fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2}</tex>: потенциал увеличивается на 2, следовательно амортизированное время {{- --}} <tex>1 + 2 = 3</tex>.

<tex>\alpha = 1</tex>: Таблица уменьшается в размере, следовательно реальная сложность {{-- -}} <texdpi = "130"> 1 + \fracgenfrac{}{}{}{}{m}{4}</tex>, а потенциал меняется от <texdpi = "130">\fracgenfrac{}{}{}{}{m}{2}</tex> до нуля, следовательно амортизированная стоимость {{- --}} <texdpi = "130"> 1 + \fracgenfrac{}{}{}{}{m}{4} - \fracgenfrac{}{}{}{}{m}{2} = 1 - \fracgenfrac{}{}{}{}{m}{4}</tex>.

В каждом случае амортизированное время одной операции {{- --}} <tex>O(1)</tex>. Если мы создадим нашу таблицу так, что <texdpi = "130">\alpha = \fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2}</tex>, то изначально потенциал будет равен нулю. И так мы будем знать, что потенциал никогда не станет меньше этого значения; в итоге амортизированная стоимость будет верхней границей реальной оценки. Следовательно, сложность последовательности из <tex> n</tex> операций будет равна <tex>O(n)</tex>.

Представим, что использование определенного количества времени равносильно использованию определенного количества монет (плата за выполнение каждой операции). В методе предоплаты каждому типу операций присваивается своя учётная стоимость. Эта стоимость может быть больше фактической, в таком случае лишние монеты используются как резерв для выполнения других операций в будущем, а может быть меньше, тогда гарантируется, что текущего накопленного резерва достаточно для выполнения операции. Для доказательства оценки средней амортизационной стоимости <tex>O(f(n, m))</tex> нужно построить учётные стоимости так, что для каждой операции она будет составлять <tex>O(f(n, m))</tex>. Тогда для последовательности из <tex>n</tex> операций суммарно будет затрачено <tex>n \cdot O(f(n, m))</tex> монет, следовательно, cредняя амортизационная стоимость операций будет <tex dpi = "150130">a = \fracgenfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n} = \fracgenfrac{}{}{}{}{n \cdot O(f(n, m))}{n}</tex> <tex>= O(f(n, m))</tex>.

Опять же рассмотрим стек =====Стэк с операцией <tex>multipop(a)</tex>. =====При выполнении операции <tex>\mathrm{push}{}</tex> будем использовать две монеты {{---}} одну для самой операции, а вторую {{---}} в качестве резерва. Тогда для операций <tex>\mathrm{pop}{}</tex> и <tex>\mathrm{multipop}{}</tex> учётную стоимость можно принять равной нулю и использовать для удаления элемента монету, оставшуюся после операции <tex>\mathrm{push}{}</tex>.

Рассмотрим реализацию очереди на двух стеках. Пусть наши стеки имеют операции <tex>\mathrm{push}{}</tex> и <tex>\mathrm{pop}{}</tex>, обе стоимостью <tex>1</tex>.Пусть каждое добавление элемента в очередь будет стоить 3 монеты. Это покроет стоимость операций <tex>\mathrm{push}{}</tex> и <tex>\mathrm{pop}{}</tex> для переноса элемента из первого стека во второй, если потребуется, и ещё 1 монета будет нужна для того, чтобы поместить элемент в первый стек. Стоимость удаления элемента из очереди {{- --}} 1 монета(она потребуется нам для удаления элемента из второго стека).

Таким образом, амортизационная стоимость каждой операции {{- --}} <tex> O(1) </tex>.