223
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Пусть задана булева функция <tex>f: B^n \rightarrow B, \;\; B=\{ 0; 1 \}</tex>. Любая булева функция представима в виде полинома Жегалкина, притом единственным образом. Пусть <tex> i = (i _{1}, i _{2}, .. i _{n}), \;\; i _{k} = \{0 ; 1\}</tex>, и введем обозначение <tex> x ^{i _{k}} \sim \left\{\begin{matrix} x, \;\; i _{k}=1
\\ 1, \;\; i _{k}=0
\end{matrix}\right. </tex> / Тогда полином Жегалкина можно записать как::<tex> f(x) = \bigoplus\limits_{i} \alpha _{i} \cdot x_{1}^{i_{1}} \cdot x_{2}^{i_{2}} \cdot ... \cdot x_{n}^{i_{n}}</tex>,:где <tex>\alpha _{i} \in \{ 0; 1 \}</tex>.
Тогда отображение <tex>f\rightarrow \alpha _{i} </tex> (то есть такое, которое по заданной функции определяет ее коэффициенты при членах полинома Жегалкина) является: : <mathtex>\alpha _{i} = \bigoplus _\limits_{j\preceq i} f(j)</mathtex>.
Такое отображение также называется '''преобразованием Мёбиуса'''.
----
<br/>
Очевидно, функцию <tex> f </tex> можно записать и следующим образом: : <mathtex> f(x) = \bigoplus _\limits_{i} \alpha _{i} \cdot [x _{1} , \; \text {if} \;\; i _{1}] \cdot [x _{2} , \; \text {if} \;\; i _{2}] \cdot ... \cdot [x _{n} , \; \text {if} \;\; i_{n}]</mathtex>.
Запись <tex>[x _{k} , \; \text mbox {ifесли} \; i _{k}]</tex> означает, что элелемент <tex> x_{k} </tex> присутствует в соответствующем члене полинома только если <tex> i_{k} = 1 </tex>. Отсюда ясно, что : <mathtex> f(x) = \bigoplus _\limits_{i \preceq x} \alpha _{i} </mathtex>.
Таким образом, если применить '''преобразование Мёбиуса''' к функции, а затем вновь применить то же преобразование к получившейся функции, тогда вновь получим исходную функцию <tex>f</tex>. То есть '''преобразование Мёбиуса''' обратно самому себе.
