Изменения

'''Дерево отрезков''' (англ. ''Segment tree'') {{---}} это структура данных, которая позволяет за асимптотику <tex>O(\log n)</tex> реализовать любые операции, определяемые на [[Моноид | моноиде]]. Например, следующего вида: нахождение суммы (задача RSQ), минимума или максимума (задача RMQ) элементов массива в заданном отрезке (<tex>a[il...jr]</tex>, где <tex>il</tex> и <tex>jr</tex> поступают на вход алгоритма)

При этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и [[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления | изменение элементов на целом подотрезке массива]], например разрешается присвоить всем элементам <tex>a[il...jr]</tex> какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число. Структура занимает <tex>O(n)</tex> памяти, а ее построение требует <tex>O(n)</tex> времени.

Структура представляет собой дерево, листьями которого являются элементы исходного массива. Другие вершины этого дерева имеют по 2 ребёнка ребенка и содержат результат операции от своих детей (например минимум или сумму). Таким образом, корень содержит результат искомой функции от всего массива <tex>[0...n-1]</tex>, левый ребёнок корня содержит результат функции на <texdpi=120>[0...\frac{n/}{2}]</tex>, а правый, соответственно результат на <texdpi=120>[\frac{n/}{2}+1...n-1]</tex>. И так далее, продвигаясь вглубь дерева.

Пусть исходный массив <tex>a</tex> состоит из <tex>n</tex> элементов. Для удобства построения увеличим длину массива <tex>a</tex> так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. <tex>2^k</tex>, где <tex>2^k \ge n</tex>. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив <tex>t</tex> из <tex>2^{k+1}</tex> элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой <tex>n+\frac{n/}{2}+\frac{n/}{4}...+1 < 2n</tex>, где <tex>n=2^k</tex>. Таким образом, структура занимает линейную память.

Процесс построения дерева заключается в заполнении массива <tex>t</tex>. Заполним этот массив таким образом, чтобы <tex>i</tex>-й элемент являлся бы значением функции результатом некоторой бинарной операции (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex>, то есть родитель являлся значением функции результатом бинарной операции от своих сыновей. Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив <tex>a</tex>, а также переменные <tex>tl</tex> и <tex>tr</tex>, обозначающие границы текущего полуинтервала. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков (<tex>i=0</tex>, <tex>tl=0</tex>, <tex>tr=n</tex>), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив <tex> a </tex>). Асимптотика построения дерева отрезков составит, таким образом, <tex>O(n)</tex>.

Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу | снизу]] алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива <tex>t</tex> от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента <tex> i </tex> его дети <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex> уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем функцию бинарную операцию от них), а при построении [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху | сверху]] спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.

TreeBuildtreeBuild(a[], i, tl, tr) // Мы находимся в элементе вершине с номером i, который отвечает за полуинтервал [tl, tr) '''if (''' tl == tr) '''return;''' '''if (''' tr - tl == 1) t[i] = a[tl]; '''else''' tm = (tl + tr) / 2; //середина отрезка TreeBuild(a, 2 * i + 1, tl, tm); TreeBuild(a, 2 * i + 2, tm, tr); t[i] = f(t[2 * i + 1], <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2]);

TreeBuildtreeBuild(a[]) '''for ''' i = n - 1 .. 2 * n - 1 t[i] = a[i - n - 1] '''for ''' i = n - 2 .. 0 t[i] = f(t[2 * i + 1], <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2])

==См. также==[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B0_%D0%B2_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D1%83 - Реализация запросов к дереву отрезков сверху] [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B0_%D0%B2_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%B7%D1%83 - Реализация запросов к дереву отрезков снизу] [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8C%D1%8F._%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F - Реализация массового обновления] ==Ссылки==