Изменения

Пусть исходный массив <tex>a</tex> состоит из <tex>n</tex> элементов. Для удобства построения увеличим длину массива <tex>a</tex> так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. <tex>2^k</tex>, где <tex>2^k \ge geqslant n</tex>. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив <tex>t</tex> из <tex>2^{k+1}</tex> элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой <tex>n+\frac{n}{2}+\frac{n}{4}...+1 < 2n</tex>, где <tex>n=2^k</tex>. Таким образом, структура занимает линейную память.

Процесс построения дерева заключается в заполнении массива <tex>t</tex>. Заполним этот массив таким образом, чтобы <tex>i</tex>-й элемент являлся бы результатом некоторой бинарной операции (для каждой конкретной задачи своей) <tex>\circ</tex> от элементов c номерами <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex>, то есть родитель являлся результатом бинарной операции от своих сыновей. Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив <tex>a</tex>, а также переменные <tex>tl</tex> и <tex>tr</tex>, обозначающие границы текущего полуинтервала<tex>[tl, tr)</tex>. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков (<tex>i=0</tex>, <tex>tl=0</tex>, <tex>tr=n</tex>), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив <tex> a </tex>). Асимптотика построения дерева отрезков составит <tex>O(n)</tex>.

Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу | снизу]] алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива <tex>t</tex> от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента <tex> i </tex> его дети <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex> уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем бинарную операцию от них), а при построении [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху | сверху]] спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.

<font color="green">// Мы находимся в вершине с номером i, который отвечает за полуинтервал [tl, tr)</font>

tm = (tl + tr) / 2 <font color="green">//середина отрезка</font> TreeBuildtreeBuild(a, 2 * i + 1, tl, tm) TreeBuildtreeBuild(a, 2 * i + 2, tm, tr)

'''return''' '''new''' Vertex(a[tl])

'''return''' '''new''' Vertex(treeBuild(a[], tl, tm), treeBuild(a[], tm + 1, tr))

Здесь изображено персистентное дерево отрезков с операцией минимум, в котором изначально было <tex>3 </tex> вершины. Сперва к нему была добавлена вершина со значением <tex>2</tex>, а потом изменена вершина со значением <tex>7</tex>. Цвет ребер и вершин соответствует времени их появления. Синий цвет элементов означает, что они были изначально, зеленый {{- --}} что они появились после добавления, а оранжевый {{--- }} что они появились после изменения элемента.

'''return''' '''new''' Vertex(val)

'''if''' pos <= tex>\leqslant</tex> tm '''return''' '''new''' Vertex(update(v.l, tl, tm, pos, val), v.r)

'''return''' '''new''' Vertex(v.l, update(v.r, tm + 1, tr, pos, val))

* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B0_%D0%B2_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D1%83 - Реализация запросов к дереву отрезков сверху]

* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B0_%D0%B2_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%B7%D1%83 - Реализация запросов к дереву отрезков снизу]

* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8C%D1%8F._%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F - Реализация массового обновления]

* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/segment-2006 - Визуализатор дерева отрезков]

* [http://e-maxx.ru/algo/segment_tree - MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2 - Дерево отрезков — Википедия]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Моноид - Моноид — Википедия]