Изменения

# Предположим <tex>\overline B_1, \overline B_2 \in \mathcal B^*, \ \overline B_1 \ne \overline B_2, \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} </tex>. Тогда по второй аксиоме баз для <tex> B_{1,2} \ (B_1, B_2 \in \mathcal B): </tex> <tex> \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} \Rightarrow B_2 \subseteq B_1 </tex>, а [[Теорема_о_базах#definition | определение базы]] гласит, что в таком случае <tex> B_1 = B_2 , </tex>, тогда противоречиепришли к противоречию.# Пусть <tex> \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*</tex> и <tex> p\in \overline{B_1}.</tex> . Покажем, что в <tex> B_1 \cup p </tex> содержится ровно один цикл.#: Так как <tex> p\notin {B_1},</tex> то в по определению базы <tex> B_1 \cup p \notin I </tex> имеется , а значит существует цикл <tex>C\subseteq B_1 \cup p </tex>. #: Убедимся также, причём что он единственный (в противном случае для каких-нибудь двух циклов верно . Положим <tex> \exists C_1, C_2 \in \mathfrak C: \ C_1, C_2 \subseteq B_1 \cup p,\ C_1 \ne C_2 </tex>. Заметим, что <tex> p \in C_1, C_2 </tex>, и в противном случае цикл не содержащий <tex> p </tex> был бы подмножеством <tex> B_1 </tex>, что невозможно. Следовательно по [[Теорема_о_циклах | 3-му свойству циклов]] <tex> \exists C_3 </tex> {{---}} цикл такой, что <tex> \in \mathfrak C: \ C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p </tex>, но кроме того . Но помимо этого выполнено <tex> (C_1 \cup C_2) \setminus p \subseteq B_1 </tex> {{---}} противоречие). :: Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, так как разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> {{---}} база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется третья аксиома баз.

*[[Аксиоматизация матроида базами]] == Источники информации ==* [[wikipedia:ru:Матроид#Дополнительные_понятия | Википедия {{---}} Двойственный матроид]]* [[wikipedia:en:Dual matroid | Wikipedia {{---}} Dual matroid]]