74
правки
Изменения
Нет описания правки
== Алгоритм ==
Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из её.
Ответ на каждый запрос мы найдём в течении этого <tex>dfs'a</tex>течение поиска в глубину. Ответ для вершин <tex>v</tex>, <tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершины вершину <tex>u</tex>, а в так же посетили всех сыновей вершины <tex>v</tex> обработали всех сыновей , и собираемся выйти из неё.
Зафиксируем момент, : мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>v</tex>, <tex>u</tex>.FТогда заметим , что ответ {{---}} это либо вершина <tex>v</tex>, либо какой-то её предок. Значит , нам нужно найти предок предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом (, в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка).
На рисунке разные цвета {{---}} разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>.
Классы этих вершин {{---}} не пересекаются, а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|dsu]].
Будем поддерживать массив <tex>ancestor[v]</tex> {{---}} представитель множества в котором содержится вершина <tex>v</tex>.
Когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex> мы должны добавить её в новый класс (<tex>ancestor[v] = v</tex>), а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объединить это поддерево с нашим классом (операция <tex>union</tex>), и не забыть установить представителя как вершину <tex>v</tex> (в зависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).
Зафиксируем вершины вершину <tex>v</tex>, и выделим путь от корня до этой вершины. Теперь все рёбра "левее" этого пути уже добавлены в <tex>dsu</tex>, все рёбра правее — ещё не обработаны, а все рёбра на пути — обработаны, но в <tex>dsu</tex> ещё не добавлены, так как в <tex>dsu</tex> мы добавляем при выходе.
Тогда можно заметить, что любая вершина из обработанных в <tex>dsu</tex> цепляются к какой-то вершине текущего пути, в <tex>dfs</tex>.
К самой первой вершине этого пути, до которой мы доберёмся, если будем просто подниматься. Очевидно, это и есть <tex>lca</tex>.
После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида (<tex>v</tex>,<tex>u</tex>) где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.
Нетрудно заметить что ответ для <tex>lca(v, u) = ancestor([find(u))]</tex>.Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
=== Оценка сложности ===
Она состоит из нескольких оценок.
Во-первых , обход в глубину работает <tex>dfsО (n)</tex> работает О (n).
Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> затрачивают <tex>О (n)</tex> операций.
В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>О (1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>O (n + m)</tex>, но при достаточно больших <tex>m</tex> ответ за <tex>O (1)</tex> на один запрос.
