Изменения
Нет описания правки
{{ТеоремаОпределение|definition=Пусть [[Основные_определения_теории_графов#.D0.9D.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D1.8B|неориентированный граф]] <tex> G </tex> имеет <tex> n </tex> вершин: <tex> v_1, v_2, \ldots, v_n </tex>. Пусть <tex> d_i = \deg v_i \mbox{ } (i = \overline{1, n}) </tex> и вершины графа упорядочены таким образом, что <tex> d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_n </tex>. Последовательность <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> называют '''последовательностью степеней''' графа <tex> G </tex>.}} {{Лемма
|about=
|statement=
Пусть неориентированный граф <tex> G'''</tex> получен из неориентированного графа <tex> G </tex> добавлением одного нового ребра <tex> e </tex>. Тогда последовательность степеней графа <tex> G </tex> мажорируется последовательностью степеней графа <tex> G''' - связный граф, количество вершин которого не меньше 3</tex>. Упорядочим степени вершин |proof=''Замечание'G''' по неубыванию: Если в неубывающей последовательности <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> увеличить на единицу число <tex> d_i </tex>, а затем привести последовательность к неубывающему виду, переставив число <tex> d_i + 1 </tex> на положенное место <tex> j </tex>, то исходная последовательность будет мажорироваться полученной.Если для <mathtex>j = i</tex>, то утверждение леммы, очевидно, выполняется. Пусть <tex>j \forall kneq i</mathtex> верна импликация .[[Файл: Hvatal_1.png|270px|thumb|center|Исходная последовательность степеней <tex> d </tex>]] * Рассмотрим элементы с номерами <mathtex>d_k s = \le k overline{1, i - 1} </tex>. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.* Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \overline{i, j - 1} </tex>. <tex> s </tex>-й элемент полученной последовательности равен <tex> s + 1 < n/2 tex>-му элементу исходной. <tex> d_s \leqslant d_{s + 1} \Rightarrow d_s \leqslant d'_s = d_{ns + 1} </tex>.* Расмотрим <tex>j</tex>-ый элемент. Имеем <tex>d'_j \ge d'_{j-k1} = d_{j} </tex>.* Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \ge overline{j + 1, n-k } </tex>. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.[[Файл: Hvatal_2.png|290px|thumb|center|Новая последовательность степеней <tex> d' </tex>]]При добавлении в граф ребра <tex> e = uv, \mbox{ } (*u \neq v) </mathtex>, степени вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex>увеличатся на единицу. Для доказательства леммы,дважды воспользуемся замечанием.то '''G''' - гамильтоновЗначит, последовательность степеней полученного графа мажорирует последовательность степеней исходного.
}}
{{Лемма
|about=
|statement=
}}
{{Лемма
|about=
|statement=
}}
{{Лемма
|about=
|statement=
}}
Приведем доказательство от противного. Пусть существует граф с числом вершин <tex> n \geqslant 3 </tex>, удовлетворяющий <tex> (*) </tex>, но негамильтонов.Будем добавлять в него ребра до тех пор, пока не получим максимально возможный негамильтонов граф <tex> G </tex> (то есть добавление еще одного ребра сделает граф <tex> G </tex> гамильтоновым). По лемме о добавлении ребра и лемме №3 импликация <tex> (*) </tex> остается верной для графа <tex> G </tex>.Очевидно, что граф <tex>\ K_n </tex> гамильтонов при <tex> k \geqslant 3 </tex>.Будем считать <tex> G </tex> максимальным негамильтоновым остовным подграфом графа <tex> K_n </tex>. Выберем две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex> графа <tex> G </tex>, такие что <tex> \deg u + \deg v </tex> — максимально.Будем считать, что <tex> \deg u \leqslant \deg v <br/tex>.Теперь вернемся Добавив к доказательству теоремы<tex> G </tex> новое ребро <tex> e = uv </tex>, получим гамильтонов граф <tex> G + e </tex>.Рассмотрим гамильтонов цикл графа <tex> G + e </tex>: в нём обязательно присутствует ребро <tex> e </tex>.Отбрасывая ребро <tex> e </tex>, получим гамильтонову <tex> (u, v) </tex>-цепь в графе <tex> G </tex>: <tex> u = u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow \ldots \rightarrow u_n = v </tex>. Пусть <tex> S = \{i \mid e_i = u_1 u_{Теоремаi + 1} \in EG\}, T = \{ i \mid f_i = u_i u_n \in EG\} </tex>.[[Файл: Hvatal_3.png|about=330px|thumb|center|Множество <tex> S </tex> обозначено красным цветом, множество <tex> T </tex> обозначено синим цветом]] Хватала{{Утверждение
|statement=
|proof=
}}
==См. также==
* [[Гамильтоновы графы]]
* [[Теорема Дирака]]
* [[Теорема Оре]]
== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В.: ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы''
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Гамильтоновы графы]]