Изменения

{{В разработке}}'''Алгоритм Фарача Фараха''', разработанный в 1997 году американским ученым Мартином Фарах-Колтоном (Martin Farach,(1997)-Colton)''' {{---}} алгоритм построения [[Сжатое суффиксное дерево|суффиксного дерева]] для заданной строки <tex>s</tex> длины <tex>N</tex>. Сам алгоритм выполнятеся выполняется за время <tex>O(N)</tex>, при этом причём даже не требуется выполнения выполнение условия конечности алфавита. Такая эффективность достигается за счет счёт того, что строковые последовательности определяются на индексированном алфавите или, что эквивалентно, на целочисленном алфавите <tex>\Sigma = \{1, 2 \dots , k\}</tex>, при . При этом накладывается дополнительное условие, что <tex>k \in = O(N)</tex>. Такие алфавиты часто встречаются на практике. Важно помнить, что алгоритм скорее теоретический, нежели практический, а основная его ценность заключается в том, что размер алфавита может быть произвольным.

= Описание Идея алгоритма =состоит в том, что мы уменьшаем размер исходной строки, строим суффиксное дерево для неё рекурсивно, а потом получаем из построенного дерево для текущей строки. Для этого мы разбиваем символы исходной строки на пары и нумеруем их, а из полученных номеров составляем новую строку, которая уже в <tex>2</tex> раза короче.

Основная идея алгоритма заключается в том, что мы уменьшаем размер исходной строки. Для этого мы разбиваем символы сходной строки на пару и пронумеровываем их, а из полученных номеров составляем новую строку, которая уже в <tex>2</tex> раза короче. Алгоритм Фарача Фараха будет описан в виде пяти выполняемых шагов. Используем в качестве примера строку <tex>s = 121112212221</tex>, определенную на алфавите <tex>\Sigma = \{1, 2\} </tex> (в этом примере <tex>N = 12</tex>).

*: (если символов нечетное нечётное число {{---}} последняя пара дополняется специальным символом <tex>\$</tex>).* Пары сортируются устойчивой сотрировкой сортировкой ( удобно сортировать [[Цифровая_сортировка | поразрядной]], так как число разрядов мало, размер алфавита — <tex>O(n)</tex>, поэтому то время работы сортировки — линейное ): <tex> \langle 11 \rangle \langle 12\rangle \langle 12\rangle \langle 21\rangle \langle 21\rangle \langle22\rangle </tex>.

* Парам даются номера (условно, в массиве они и так есть): <tex>\langle 11\rangle -(0), \langle 12\rangle -(1), \langle 21\rangle -(2), \langle 22\rangle-(3)</tex>.* В исходной строке пары заменяются на номера: <tex>1 0 1 2 3 2</tex>.* Из полученной строки вдвое меньшего размера рекурсивно создаётся [[Сжатое суффиксное дерево | суффикcное дерево]] тем же алгоритмом:.[[Файл* Рекурсия не продолжается, если строка имеет длину, равную единице:tree101232.png|300px|thumb|right|суффиксное дерево для сжатой строки]]{|class="wikitable"|+!width="20%"|ID !!width="20%"|LCP !!width="20%"|STR |- align = "center"|1|0|0 1 2 3 2 |- align = "center"|0|0|1 0 1 2 3 2 |- align = "center"|2|1|1 2 3 2 |- align = "center"|3|0|2 3 2 |- align = "center"|5|1|2 |- align = "center"|4|0|3 2 |}строится тривиально.

|definition= Четное Чётное дерево <tex>T^{even}_s</tex> является деревом суффиксов для строки <tex>s</tex>, узлы-листья которого ограничены четными чётными позициями <tex>0, 2,4,6, \dots </tex> строки <tex>s\$</tex>.}} [[Файл:Tree101232even-pre.png|thumb|300px|Раскрываем все пары в суффиксы]][[Файл:Tree101232even.png|thumb|300px|Корректируем все развилки дерева]]

Номер каждой пары превращается в номер четного чётного суффикса исходной строки. Раскрываем все пары в суффиксы, а из-за чего номера в листьях от этого умножатся на <tex>2</tex> очевидным образом. Корректируем все развилки дерева (так как они могут совпадать в первых символах):для всех внутренних вершин <tex>u</tex>, ребра всех детей которых начинаются с одинаковых символов, мы создадим новую вершину между <tex>u</tex> и ее детьми. Это можно сделать быстро, так как все ребра, исходящие из любой вершины, лексикографически отсортированы по своим первым двум символам (так как мы сортировали номера пар на прошлом шаге). Для каждого ребра нам достаточно проверить, что его первый символ соответствует первому символу соседнего ребра, и, если так, сделать необходимые исправления. Может случиться, что ребра ко всем детям <tex>u</tex> начинаются с одинакового символа, и в этом случае у вершины <tex>u</tex> будет только один ребенок. Тогда удалим <tex>u</tex>.Эта процедура требует константное время на каждое ребро и константное время на каждую вершину, а значит, на нее требуется линейное время. Итак, если <tex>T(n)</tex> {{---}} это время, которое потребуется нашему алгоритму, чтобы построить суффиксное дерево для строки <tex>S</tex>, то <tex>T_{even}</tex> может быть построено за время <tex>T(n/2) + O(n)</tex>  

       === Шаг 3: построение нечетного нечётного по четному чётному ===

которого ограничены нечетными нечётными позициями <tex>1,3,5, \dots </tex> строки <tex>s\$</tex>.}}

Из чётного дерева нужно получить нечётное дерево (дерево из суффиксов в нечётных позициях). Для этого можно взять [[Суффиксный массив Файл:Odd.png| суффиксный массивthumb|450px|Нечётное дерево]] чётного дерева, отрезать первые символы и выполнить стабильную сортировку по оставшимся первым символам:

[[Файл:oddИз чётного дерева нужно получить нечётное дерево (дерево из суффиксов в нечётных позициях).png|300px|thumb|right| нечетное дерево]]

{* [[Сжатое_суффиксное_дерево#.D0.9F.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.80.D0.BE.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.B8.D0.B7_.D1.81.D1.83.D1.84.D1.84.D0.B8.D0.BA.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BC.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.B8.D0.B2.D0.B0 |class="wikitable"Строим по чётному дереву суффиксный массив]] — это можно сделать за <tex>О(n)</tex>. |+!width="20%"|ID !!width="20%"|LCP !!width="20%"|STR |- align = "center"|3|0|112212221 |- align = "center"|7|1|12221 |- align = "center"|11|1|1 |- align = "center"|1|0|21112212221|- align = "center"|5|1* Дописываем ко всем суффиксам (кроме того, что на нулевой позиции) символ, предшествующий ему в строке. |2212221 |- align = "center"|9|3|221 * Заметим, что все нечётные суффиксы представляют собой один символ, за которым дальше следует чётный суффикс. А чётные суффиксы у нас уже были отсортированы в суффиксном массиве. Тогда отсортируем их по первому символу за линейное время.* [[Сжатое_суффиксное_дерево#.D0.9F.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.80.D0.BE.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.B8.D0.B7_.D1.81.D1.83.D1.84.D1.84.D0.B8.D0.BA.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BC.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.B8.D0.B2.D0.B0 |}Построим из нового суффиксного массива дерево]], которое будет уже нечётным, что тоже делается за линейное время.

Для выяснения общего префикса строк автор предлагает находить общего предка вершин в [[Сжатое суффиксное дерево|суффиксном дереве]] и считаетТаким образом, что такой предок можно найти за константное время. Для примера в этом дереве, общее начало строк '''5''' и '''9''' (<tex>11011111000T_{odd}</tex> и может быть построено за линейное время по <tex>1111011111000T_{even}</tex>) записано в пути от корня до общего предка этих вершин: (рисунок 3-1).

[[Файл=== Шаг 4:treestep3_blue.jpg|400px|рисунок 3-1]]слияние чётного и нечётного дерева ===

Поскольку структуры нечётного дерева у нас заранее нет и мы её только строим, то подходящих предков мы можем найти в исходном чётном дереве, для этого достаточно проверить вершины с номерами на единицу меньше и отрезать первый символ [[Файл: Tree101232merged-pre.png|thumb|450px|Слитое дерево (рисунок 3условно)]][[Файл:Tree101232merged-2next.png|thumb|450px|Слитое дерево (в упрощённом виде).]]

[[Файл:treestep3_redДалее необходимо найти эффективный способ слияния нечётного и чётного деревьев в одно дерево <tex>T_s</tex>. Слияние будем производить начиная с корней деревьев. Предположим, что для каждого узла деревьев <tex>T_s^{odd}</tex> и <tex>T_s^{even}</tex> выходящие из них ребра занесены в специальные списки, где они '''упорядочены''' в возрастающем лексикографическом порядке подстрок, которые представляют эти ребра. Пусть каждое ребро будет дополнительно "помечено" своим первым символом. Возьмем по одному ребру из этих списков с одинаковыми метками (в одном списке не может быть ребер с одинаковыми метками, так как это сжатые суффиксные деревья), обработаем их и рекурсивно спустимся в их поддеревья. Если для ребра из одного списка не оказалось ребра с такой же меткой из другого, то в поддеревья не спускаемся, так как там нечего сливать.Очевидно, манипуляции со списками работают за линейное время, так как сами списки упорядочены лексикографически.jpg|400px|рисунок 3-2]]

=== Шаг 4: слияние четного и нечетного дерева === Далее необходимо найти эффективный способ слияния нечетного и четного деревьев в одно дерево <tex>T_s</tex>. Слияние будем производить, начиная с корня. Предположим, что для каждого узла деревьев <tex>T_s^{odd}</tex> и <tex>T_s^{even}</tex> выходящие из них ребра занесены в специальные списки, где они упорядочены в возрастающем лексикографическом порядке подстрок, которые представляют эти ребра. Алгоритм слияния деревьев просматривает только первые буквы подстрок, представленных ребрами деревьев <tex>T_s^{odd}</tex> и <tex>T_s^{even}</tex>, пусть это будут буквы <tex>\lambda^{odd}</tex> и <tex>\lambda^{even}</tex>. Тогда:

* если <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex> и длины подстрок, представленных соответствующими ребрами, равны, в дерево слияния к текущему узлу добавляются два сына: один {{---}} из четного чётного дерева, другой {{---}} из нечетногонечётного;

Если начать эту процедуру для корней нечетного и четного деревьевПоскольку мы рассматриваем только первый символ каждого ребра (то есть делаем вид, далее она рекурсивно выполняется для корней всех поддеревьевчто ребра равны, которыеесли первые символы у них равны), возможномы можем иногда слить рёбра, уже содержат узлы из нечетного и четного деревьев, поскольку ранее мог которые не должны были быть реализован случай <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex>слиты. Так как время манипулирования любым ребром этих деревьев фиксированоОднако те, то общее время слияния деревьев составит <tex>O(N)</tex>которые надо было слить, точно сольем.

[[Файл:Tree101232merged-preЕсли начать эту процедуру для корней нечётного и чётного деревьев, она рекурсивно выполнится для корней всех поддеревьев, которые, возможно, уже содержат узлы из нечётного и чётного деревьев, поскольку ранее мог быть реализован случай <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex>.png|450px|Слитое дерево Так как время манипулирования любым ребром этих деревьев фиксировано, то общее время слияния деревьев составит <tex>O(условноN)]]  [[Файл:Tree101232merged-next</tex>.png|450px|Слитое дерево (в упрощённом виде)]]

Разбираемся с двойными дугами (на этом примере их три). Для этого мы должны выяснить, сколько начальных символов таких дуг совпадает. Совпадать может от одного до нескольких символов, или даже все. Проверять их все по очереди нельзя (это даст квадратичное время)[[Файл:Tree101232merged. png|thumb|500px|Откорректированное дерево строки <tex>121112212221</tex>]]Если дуги совпадают полностью, тогда ничего не делаем, удаляем одну из копий и всё. Если начало для двух дуг совпадает только частично, тогда нужно делать для них общее начало, а ветки, которые на концах, снова развести по разным деревьям (для этого можно во время слияния запомнить их начальный цвет или просто сохранить ссылки на исходные ветки)[[Файл:Treestep5_1. jpg|thumb|550px|Пример]]

[[Файл:Tree101232mergedРазбираемся с двойными дугами (в примере их три). Для этого мы должны выяснить, сколько начальных символов у них совпадает. Совпадать может любое число символов, даже все. Проверять их все по очереди нельзя, так как это даст квадратичное время. Если дуги совпадают полностью, тогда просто удаляем одну из копий. Если начало для двух дуг совпадает только частично, тогда нужно сделать для них общее начало, а ветки, которые на концах, снова развести по разным деревьям (для этого можно во время слияния запомнить их начальный цвет или просто сохранить ссылки на исходные ветки).png|500px]]

Для примера как это сделать возьмём строку <tex>10010010101000</tex>Разберём дуги по порядку:

[[Файл:Treestep5_1# Расслоение находится на расстоянии <tex>2</tex> от корня, то есть дуга не расслаивается.# Конец является родителем вершин <tex>2</tex>, <tex>7</tex>. Родитель <tex>3</tex>, <tex>8</tex> после слияния дуги <tex>(1)</tex>, находится на глубине <tex>2</tex> символа. Значит, дуга <tex>(2)</tex> расслаивается на глубине <tex>3</tex> символа, то есть также не расслаивается. Дугу <tex>(2)</tex> нужно вычислять после обработки дуги <tex>(1)</tex>, потому что конец дуги <tex>(1)</tex> после обработки может оказаться на разной высоте, в зависимости от того на каком символе она расслоилась.# Конец является родителем <tex>2</tex>, <tex>9</tex>. Родитель <tex>3</tex>, <tex>10</tex> находится на расстоянии <tex>3</tex>, а наше расслоение на расстоянии <tex>4</tex>, то есть сливается первый символ двойной дуги. Дугу <tex>(3)</tex> надо вычислять после дуги <tex>(2)</tex>. Потому что если на дуге <tex>(2)</tex> появится разветвление, то компоненты дуги <tex>(3)</tex> придётся растащить по разным веткам дерева и сравнивать их будет не нужно.# Конец является родителем <tex>1</tex>, <tex>4</tex>. Расслаивается на втором символе.# Конец является родителем <tex>0</tex>, <tex>3</tex>. Дугу <tex>(5)</tex> можно обрабатывать только после дуги <tex>(4)</tex>, так как от неё будет зависеть глубина расслоения.jpg|550px]]

Для того чтобы узнать общее начало двойной дуги, нужно взять одну чётную и одну нечётную на дереве, для которых родителем является конец нашей двойной дуги[[Файл:Treestep5_2. Например, на рисунке выше двойная дуга jpg|thumb|center|650px|Итоговое дерево строки <tex>(1)10010010101000</tex> (конец помечен зелёным) является общим родителем для вершин <tex>3</tex> и <tex>6</tex>. Чтобы узнать, на каком расстоянии будет расслаиваться двойная дуга, надо увеличить номера вершин на единицу и найти их родителя. Он будет находиться на единицу ближе к корню (и путь у вершин будет одинаковой строкой, не считая размера). Родитель вершин <tex>4</tex> и <tex>7</tex> помечен жёлтым, он находится на расстоянии <tex>1</tex> от корня, следовательно, дуга <tex>(1)</tex> должна расслаиваться в двух символах от корня, то есть обе дуги совпадают и их просто надо слить.]]

Дерево после обработки: ===Достоинства===[[Файл:Treestep5_2*Алгоритм Фараха является первым, имеющим асимптотически оптимальное время построения <tex>O(N)</tex> для строк длины <tex>N</tex> над полиномиальным алфавитом, то есть алфавитом мощности порядка <tex>O(N)</tex>.jpg|650px]]

= Замечания ==Недостатки===

Как показывает автор с своей работе*Данный алгоритм является больше теоретическим, чётное дерево <tex>T_s^{even}</tex> строится за линейное времянежели практическим. За линейное же время из него получается <tex>T_s^{odd}</tex>Как можно было заметить, основная идея алгоритма довольно проста и слияние <tex>T_s^{even}</tex> понятна. И хоть он и <tex>T_s^{odd}</tex> занимает <tex>O(N)</tex>является асимптотически оптимальным, на практике его используют довольно редко.К недостаткам можно отнести тоЭто связано с тем, что алгоритм весьма сложен для рекурсивного реализации по сравнению с другими алгоритмами построения всех <tex>T_s^{even}</tex> и <tex>T_s^{odd}</tex> требуется <tex>O(N^2)</tex> суффиксных деревьев, а также требует достаточно большой объем памяти.В целом*Является offline-алгоритмом, алгоритм скорее теоретический, чем практический, а основная ценность его заключается в том, что размер алфавита может быть произвольнымто есть требует для начала работы всю строку целиком.

==См. также==

= Ссылки = Источники информации ==

*[http://www.proteus2001.narod.ru/gen/txt/11/farach.html Суффиксное дерево {{- --}} Алгоритм фарачаФараха]