38
правок
Изменения
м
Нет описания правки
<b>Евклидово кольцо</b> - это [[Делители нуля, области целостности|область целостности]] <tex>R</tex>, для которой определена евклидова норма <tex>\|\cdot \| :R \rightarrow \mathbb{N}\cup\{-\infty\}</tex>, причем <tex>\|a\|=-\infty \Leftrightarrow a=0</tex>, для <tex>\forall a,b\in R \exists</tex> представление <tex>a=b\cdot q + r, для которого \|r\|<\|d\|</tex>
}}
==Примеры==
#<tex>\mathbb{Z}</tex>, тогда <tex>\|a\|=|a|</tex>
#<tex>\mathbb{Q}[x]</tex>, тогда <tex>\|f(x)\|=deg(f(x))</tex><br>
<tex>|a\cdot b|^2=|a|^2\cdot |b|^2\geq |b|^2</tex>, кроме того <tex>\|a\cdot b\|\geq \|b\|=|b|^2 \Rightarrow |a\cdot b|^2=\|a\cdot b\|</tex>
#<tex>\mathbb{Z}[i]: \|a+b\cdot i\|=a^2+b^2</tex>, т.e. <tex>\|z\|=|z|^2</tex>
==Алгоритм Евклида==
Изначально даны <tex>a,b\in R</tex>, необходимо найти их НОД. Пусть <tex>a<b</tex>. Поделим <tex>b</tex> на <tex>a</tex> с остатком<br>
