Изменения

Докажем, что если слово выводится в грамматике, то оно допускается автоматом. Рассмотрим последовательность применений правил, дающую слово <tex> \alpha </tex> длины <tex> k </tex>. Для каждого правила вида <tex> A \to aB </tex> в автомате существует переход из состояния <tex> A </tex> в состояние <tex> B</tex> по символу <tex> a </tex>. Таким образом, если после <tex> k-1 </tex> применения правил мы можем получить строку вида <tex> \alpha c^{-1}B </tex>, то в автомате имеется соответствующая последовательность переходов <tex> \langle S, \alpha \rangle \vdash^{k-1} \langle B, c \rangle </tex>, а поскольку можно вывести <tex> \alpha </tex>, то хотя бы для одной строки такого вида существует правило <tex> B \to c </tex>, а значит в автомате есть переход <tex> \langle B,c \rangle \vdash \langle ok,\varepsilon \rangle </tex>. Таким образом автомат допускает слово <tex> \alpha </tex>.

Докажем, что если слово допускается автоматом, то его можно вывести в грамматике. Рассмотрим слово <tex> \alpha </tex> длины <tex> k </tex>. Рассмотрим какую-либо последовательность переходов автомата, допускающую данное слово <tex> \langle S,\alpha \rangle \vdash^k \langle ok,\varepsilon \rangle </tex>. Для каждого одношагового перехода в автомате существует соответствующее правило в грамматике. Значит для подпоследовательности переходов из <tex> k-1 </tex> шага <tex> \langle S, \alpha \rangle \vdash^{k-1} \langle U,c \rangle </tex> существует соответствующая последовательность применений правил <tex> S \Rightarrow^{k-1} \alpha c^{-1} U </tex>. Для последнего перехода в автомате <tex> \langle U,c \rangle \vdash \langle ok, \varepsilon \rangle </tex> существует правило <tex> U \Rightarrow c </tex>. Таким образом, существует последовательность применений правил грамматики, выводящая слово <tex> \alpha </tex>.