Изменения
→Решение уравнений в регулярных выражениях
==Решение уравнений в регулярных выражениях==
Пусть <tex>A</tex> — некий алфавит, <tex>\alpha X,\,\beta</tex> — некие формальные языки регулярные выражения над этим алфавитом.
{{Утверждение
|statement=
Пусть уравнение имеет вид <tex>X = \alpha X + \beta\Rightarrow \, 1)</tex>, тогда:если <tex>\varepsilon \notin \alpha \Rightarrow </tex>, тогда <tex> \alpha^{*} \beta</tex> — единственное решение. <tex>2)</tex> если <tex>\varepsilon \in \alpha \Rightarrow </tex>, тогда <tex> \alpha^{*}( \beta + L)</tex> — решение для <tex>\forall L</tex>
|proof=
<tex> 1) </tex> Пусть <tex>\varepsilon \notin \alpha </tex>. тогда <tex>\forall i: </tex> выражение <tex>\alpha^{i} \beta \subset X </tex> для <tex>\forall L \Rightarrow \alpha^{*} \beta \subset X </tex>. Пусть <tex>\exists z \in X, z\notin \alpha^{*} \beta: z</tex> — самое короткое. <tex>z=z_\alpha z', </tex> где <tex>z_\alpha \in \alpha \Rightarrow z_\alpha \notin \varepsilon \Rightarrow z'</tex> — короче <tex>z \Rightarrow z' \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow z \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow X = \alpha^{*} \beta </tex>
<tex> 2) </tex> Пусть <tex> \varepsilon \in \alpha</tex>. предположим, что <tex> \alpha^{*}( \beta + \alpha) </tex> — решение, тогда <tex> \alpha^{*}( \beta + \alpha) </tex> подходит в <tex>X = \alpha X + \beta</tex>. Выберем в качестве <tex>L</tex> любой язык.
