Изменения

* Покажем, что если <tex>(x_n, y_n)</tex> сходится в себе, то она сходится к элементу <tex>X \times Y</tex>. Рассмотрим последовательность <tex>\|(x_n, y_n) - (x_m, y_m) \| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, значит, <tex>\|(x_n - x_nx_m, y_m y_n - y_m)\| = \|x_n - x_m\| + \|y_n - y_m\| \to 0</tex>, то есть <tex>x_n</tex> и <tex>y_n</tex> сходятся в себе, а значит, по полноте пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, существует <tex>x \in X = \lim x_n, y \in Y = \lim y_n</tex>. Значит, <tex>(x, y) \in X \times Y</tex>. Далее очевидно показывая, что <tex>\|(x_n, y_n) - (x, y)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>, покажем, что <tex>x, y</tex> и есть нужный предел.