Изменения

|proof=1. Пусть <tex>a \in \mathbb{R}</tex>. Доопределим функции в точке ''a'' нулём: <tex>f(a) = g(a) = 0</tex>. Тогда доопределенные функции ''f'' и ''g'' будут непрерывны на ''[a, b)''. Возьмем последовательность <tex>\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a</tex>, и докажем, что <tex>{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A</tex>. Функции ''f'' и ''g'' удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке <tex>[a, x_n]</tex>. Поэтому для любого <tex>n \in \mathbb{N}</tex> найдется такая точка <tex>c_n \in (a, x_n)</tex>, что

По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема о сжатой последовательности|теореме о сжатой последовательности]] <tex>c_n \to a</tex>. По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Односторонние пределы|определению правостороннего предела]] на языке последовательностей <tex>{f'(c_n) \over g'(c_n)} \to A</tex>, а тогда в силу произвольности <tex> \{x_n\}</tex> и <tex>{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A</tex>.